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  3. 已知总体X是离散型随机变量，X可能取值为0，1，2，且P{X＝2}＝(1－θ)2，EX＝2(1－θ)(0为未知参数)． (Ⅰ)试求X的概率分布； (Ⅱ)对X抽取容量为10的样本，其中5个取1，3个取2，2个取0，求θ的矩估计值、最大似然估计

已知总体X是离散型随机变量，X可能取值为0，1，2，且P{X＝2}＝(1－θ)2，EX＝2(1－θ)(0为未知参数)． (Ⅰ)试求X的概率分布； (Ⅱ)对X抽取容量为10的样本，其中5个取1，3个取2，2个取0，求θ的矩估计值、最大似然估计

admin2018-11-23  77
问题 已知总体X是离散型随机变量，X可能取值为0，1，2，且P{X＝2}＝(1－θ)2，EX＝2(1－θ)(0为未知参数)．
    (Ⅰ)试求X的概率分布；
    (Ⅱ)对X抽取容量为10的样本，其中5个取1，3个取2，2个取0，求θ的矩估计值、最大似然估计值．
选项
答案(Ⅰ)设X的概率分布为P{X＝0}＝p0，P{X＝1}＝p1，P{X＝2}＝p2，由题设知p2＝(1－θ)2，又EX＝2(1－θ)＝0 ×p0＋1×p1＋2p2＝p1＋2p2＝p1＋2(1－θ)2，解得p1＝2(1－θ)－2(1－θ)2＝2θ(1－θ)，而p0＋p1＋p2＝1，所以p0＝1－p1—p2＝θ2，X的概率分布为 [*] (Ⅱ)应用定义求矩估计值、最大似然估计值．令μ＝EX＝2(1－θ)，解得θ＝1－[*]，于是θ的矩估计量[*]，将样本值代入得θ的矩估计值为 1－[*](5×1＋3×2＋2×0)＝1－[*]， 即θ的矩估计值[*] 又样本值的似然函数 L(χ1，…，χ10；θ)＝[*]P{X＝χi，θ}＝[2θ(1－θ)]5(1－θ)6θ4＝25θ9(1－θ)11， lnL＝5ln2＋9lnθ＋11ln(1－θ)， 令[*]＝0，解得θ最大似然估计值[*]．
解析
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考研数学一

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