2. 考研
  3. 设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内可导，f(a)＝f(b)＝1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得＝(ea＋eb)[f’(η)＋f(η)]．

设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内可导，f(a)＝f(b)＝1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得＝(ea＋eb)[f’(η)＋f(η)]．

admin2019-11-25  69
问题 设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内可导，f(a)＝f(b)＝1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得＝(ea＋eb)[f’(η)＋f(η)]．
选项
答案令φ(x)＝exf(x)，由微分中值定理，存在η∈(a，b)，使得 [*]＝eη[f’(η)＋f(η)]，再由f(a)＝f(b)＝1，得[*]＝eη[f’(η)＋f(η)]， 从而[*]＝(ea＋eb)eη[f’(η)＋f(η)]，令φ(x)＝e2x，由微分中值定理，存在ξ∈(a，b)，使[*]＝2e2ξ， 即2e2ξ＝(ea＋eb)eη[f’(η)＋f(η)]，或2e2ξ－η＝(ea＋eb)[f’(η)＋f(η)]．
解析
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考研数学三

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