设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，又此曲线上的点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线方程，并求函数y(x)的极值．

admin2019-09-27 42

问题设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为

，又此曲线上的点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线方程，并求函数y(x)的极值．

选项

答案因为曲线是上凸的，所以y″＜0，由题设得 [*]=－1 令y′=p，y″=[*]=－(1+p²)[*]arctanp=C₁－x．因为曲线y=y(x)在点(0，1)处的切线方程为y=x+1，所以p_x=0=1，从而y′=[*]，积分得y=[*]+C₂ 因为曲线过点(0，1)，所以C₂=1+[*]，所求曲线为y=[*] 因为[*]时函数取得极大值1+[*]

解析

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考研数学一

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