2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak－1α≠0。证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α是线性无关的。

设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak－1α≠0。证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α是线性无关的。

admin2018-02-07  75
问题 设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak－1α≠0。证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α是线性无关的。
选项
答案设有常数λ0，λ1，…，λk－1使得 λ0α+λ1Aα+…+λk－1Ak－1α=0， 则有Ak－1(λ0α+λ1Aα+…+λk－1Ak－1α)=0， 从而得到λ0Ak－1α=0。由题设Ak－1α≠0，所以λ0=0。 类似地可以证明λ1=λ2=…=λk－1=0，因此向量组α，Aα，…，Ak－1α是线性无关的。
解析
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考研数学二

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