设函数f(x)在开区间(a，b)内可导，证明：当导函数f’(x)在(a，b)内有界时，函数f(x)在(a，b)内也有界。

admin2018-05-25 33

问题设函数f(x)在开区间(a，b)内可导，证明：当导函数f’(x)在(a，b)内有界时，函数f(x)在(a，b)内也有界。

选项

答案设x₀，x∈(a，b)，则f(x)在以x₀，x为端点的区间上满足拉格朗日中值定理条件，因此 f(x)—f(x₀)=f’(ξ)(x一x₀)，ξ∈(x₀，x)。因为f’(x)在(a，b)内有界，即存在N＞0，使｜f’(x)｜＜N，x∈(a，b)，所以｜f(x)｜=｜f(x)—f(x₀)+f(x₀)｜ ≤｜f(x)—f(x₀)｜+｜f(x₀)｜ ≤｜f’(ξ)(b—a)｜+｜f(x₀)｜ ≤N(b—a)+｜f(x₀)｜=M。根据有界的定义f(x)在(a，b)内有界。

解析

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