2. 考研
  3. 设函数f(x)在开区间(a，b)内可导，证明：当导函数f’(x)在(a，b)内有界时，函数f(x)在(a，b)内也有界。

设函数f(x)在开区间(a，b)内可导，证明：当导函数f’(x)在(a，b)内有界时，函数f(x)在(a，b)内也有界。

admin2018-05-25  81
问题 设函数f(x)在开区间(a，b)内可导，证明：当导函数f’(x)在(a，b)内有界时，函数f(x)在(a，b)内也有界。
选项
答案设x0，x∈(a，b)，则f(x)在以x0，x为端点的区间上满足拉格朗日中值定理条件，因此 f(x)—f(x0)=f’(ξ)(x一x0)，ξ∈(x0，x)。 因为f’(x)在(a，b)内有界，即存在N＞0，使｜f’(x)｜＜N，x∈(a，b)，所以 ｜f(x)｜=｜f(x)—f(x0)+f(x0)｜ ≤｜f(x)—f(x0)｜+｜f(x0)｜ ≤｜f’(ξ)(b—a)｜+｜f(x0)｜ ≤N(b—a)+｜f(x0)｜=M。 根据有界的定义f(x)在(a，b)内有界。
解析
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考研数学一

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