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设函数f(x)在开区间(a,b)内可导,证明:当导函数f’(x)在(a,b)内有界时,函数f(x)在(a,b)内也有界。
设函数f(x)在开区间(a,b)内可导,证明:当导函数f’(x)在(a,b)内有界时,函数f(x)在(a,b)内也有界。
admin
2018-05-25
97
问题
设函数f(x)在开区间(a,b)内可导,证明:当导函数f’(x)在(a,b)内有界时,函数f(x)在(a,b)内也有界。
选项
答案
设x
0
,x∈(a,b),则f(x)在以x
0
,x为端点的区间上满足拉格朗日中值定理条件,因此 f(x)—f(x
0
)=f’(ξ)(x一x
0
),ξ∈(x
0
,x)。 因为f’(x)在(a,b)内有界,即存在N>0,使|f’(x)|<N,x∈(a,b),所以 |f(x)|=|f(x)—f(x
0
)+f(x
0
)| ≤|f(x)—f(x
0
)|+|f(x
0
)| ≤|f’(ξ)(b—a)|+|f(x
0
)| ≤N(b—a)+|f(x
0
)|=M。 根据有界的定义f(x)在(a,b)内有界。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/xLg4777K
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考研数学一
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