2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中 ①A2； ②P-1AP； ③AT； ④E一A。 α肯定是其特征向量的矩阵个数为( )

设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中 ①A2； ②P-1AP； ③AT； ④E一A。 α肯定是其特征向量的矩阵个数为( )

admin2019-07-12  104
问题 设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中
①A2；    ②P-1AP；    ③AT；    ④E一A。
α肯定是其特征向量的矩阵个数为(    )
选项 A、1。
B、2。
C、3。
D、4。
答案B
解析 由Aa=λα，α≠0，有A2α=A(λα)=Aα=λ2α，即α必是A2属于特征值λ2的特征向量。
又    (E—A)α=α一-Aα=(1一λ)α，
知α必是矩阵E一A属于特征值1一λ的特征向量。
关于②和③则不一定成立，这是因为(P-1AP)(P一α)=p-1Aα=λP-1α，
按定义，矩阵P-1AP的特征向量是P-1α。因为P-1α与α不一定共线，因此α不一定是P-1AP的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的。
    线性方程组(λE—A)x=0与(AE一AT)x=0不一定同解，所以α不一定是第二个方程组的解，即α不一定是AT的特征向量，故选B。
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考研数学三

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