设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中 ①A2； ②P-1AP； ③AT； ④E一A。 α肯定是其特征向量的矩阵个数为( )

admin2019-07-12 68

问题设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中
①A²； ②P^-1AP； ③A^T； ④E一

A。
α肯定是其特征向量的矩阵个数为( )

选项 A、1。
B、2。
C、3。
D、4。

答案B

解析由Aa=λα，α≠0，有A²α=A(λα)=Aα=λ²α，即α必是A²属于特征值λ²的特征向量。
又 (E—

A)α=α一

-Aα=(1一

λ)α，
知α必是矩阵E一

A属于特征值1一

λ的特征向量。
关于②和③则不一定成立，这是因为(P^-1AP)(P一α)=p^-1Aα=λP^-1α，
按定义，矩阵P^-1AP的特征向量是P^-1α。因为P^-1α与α不一定共线，因此α不一定是P^-1AP的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的。
线性方程组(λE—A)x=0与(AE一A^T)x=0不一定同解，所以α不一定是第二个方程组的解，即α不一定是A^T的特征向量，故选B。

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考研数学三

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