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证明条件极值点的必要条件(7.9)式,并说明(7.9)式的几何意义.
证明条件极值点的必要条件(7.9)式,并说明(7.9)式的几何意义.
admin
2017-07-10
40
问题
证明条件极值点的必要条件(7.9)式,并说明(7.9)式的几何意义.
选项
答案
由所设条件,φ(χ,y)=0在χ=χ
0
的某邻域确定隐函数y=y(χ)满足y
0
=y(χ
0
),于是P
0
(χ
0
,y
0
)是z=f(χ,y)在条件φ(χ,y)=0下的极值点[*]=f(χ,y(χ))在χ=χ
0
取极值 [*]f′
χ
(χ
0
,y
0
)+f′
y
(χ
0
,y
0
)y′(χ
0
)=0. ① 又由φ(χ,y(χ))=0,两边求导得 φ′
χ
(χ
0
,y
0
)+φ′
y
(χ
0
,y
0
)y′(χ
0
)=0,解得y′(χ
0
)=-φ′
χ
(χ
0
,y
0
)/φ′
y
(χ
0
,y
0
). ② 将②式代入①式得f′
χ
(χ
0
,y
0
)-f′
y
(χ
0
,y
0
)φ′
χ
(χ
0
,y
0
)/φ′
y
(χ
0
,y
0
)=0. 因此[*] 在Oχy平面上看,φ(χ,y)=0是一条曲线,它在P
0
(χ
0
,y
0
)的法向量是(φ′
χ
(P
0
),φ′
y
(P
0
)),而f(χ,y)=f(χ
0
,y
0
)是一条等高线,它在P
0
的法向量是(f′
χ
(P
0
),f′
y
(P
0
)),(7.9)式表示这两个法向量平行,于是曲线φ(χ,y)=0与等高线f(χ,y)=f(P
0
)在点P
0
处相切.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/xSt4777K
0
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