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证明条件极值点的必要条件(7．9)式，并说明(7．9)式的几何意义．
证明条件极值点的必要条件(7．9)式，并说明(7．9)式的几何意义．
admin
2017-07-10
74
问题
证明条件极值点的必要条件(7．9)式，并说明(7．9)式的几何意义．
选项
答案
由所设条件，φ(χ，y)＝0在χ＝χ
0
的某邻域确定隐函数y＝y(χ)满足y
0
＝y(χ
0
)，于是P
0
(χ
0
，y
0
)是z＝f(χ，y)在条件φ(χ，y)＝0下的极值点[*]＝f(χ，y(χ))在χ＝χ
0
取极值 [*]f′
χ
(χ
0
，y
0
)＋f′
y
(χ
0
，y
0
)y′(χ
0
)＝0． ① 又由φ(χ，y(χ))＝0，两边求导得 φ′
χ
(χ
0
，y
0
)＋φ′
y
(χ
0
，y
0
)y′(χ
0
)＝0，解得y′(χ
0
)＝－φ′
χ
(χ
0
，y
0
)／φ′
y
(χ
0
，y
0
)． ② 将②式代入①式得f′
χ
(χ
0
，y
0
)－f′
y
(χ
0
，y
0
)φ′
χ
(χ
0
，y
0
)／φ′
y
(χ
0
，y
0
)＝0． 因此[*] 在Oχy平面上看，φ(χ，y)＝0是一条曲线，它在P
0
(χ
0
，y
0
)的法向量是(φ′
χ
(P
0
)，φ′
y
(P
0
))，而f(χ，y)＝f(χ
0
，y
0
)是一条等高线，它在P
0
的法向量是(f′
χ
(P
0
)，f′
y
(P
0
))，(7．9)式表示这两个法向量平行，于是曲线φ(χ，y)＝0与等高线f(χ，y)＝f(P
0
)在点P
0
处相切．
解析
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0
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