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  3. 证明条件极值点的必要条件(7．9)式，并说明(7．9)式的几何意义．

证明条件极值点的必要条件(7．9)式，并说明(7．9)式的几何意义．

admin2017-07-10  52
问题 证明条件极值点的必要条件(7．9)式，并说明(7．9)式的几何意义．
选项
答案由所设条件，φ(χ，y)＝0在χ＝χ0的某邻域确定隐函数y＝y(χ)满足y0＝y(χ0)，于是P0(χ0，y0)是z＝f(χ，y)在条件φ(χ，y)＝0下的极值点[*]＝f(χ，y(χ))在χ＝χ0取极值 [*]f′χ(χ0，y0)＋f′y(χ0，y0)y′(χ0)＝0． ① 又由φ(χ，y(χ))＝0，两边求导得 φ′χ(χ0，y0)＋φ′y(χ0，y0)y′(χ0)＝0，解得y′(χ0)＝－φ′χ(χ0，y0)／φ′y(χ0，y0)． ② 将②式代入①式得f′χ(χ0，y0)－f′y(χ0，y0)φ′χ(χ0，y0)／φ′y(χ0，y0)＝0． 因此[*] 在Oχy平面上看，φ(χ，y)＝0是一条曲线，它在P0(χ0，y0)的法向量是(φ′χ(P0)，φ′y(P0))，而f(χ，y)＝f(χ0，y0)是一条等高线，它在P0的法向量是(f′χ(P0)，f′y(P0))，(7．9)式表示这两个法向量平行，于是曲线φ(χ，y)＝0与等高线f(χ，y)＝f(P0)在点P0处相切．
解析
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考研数学二

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