设二次型f(χ1,χ2,χ3,χ4)=χT>Aχ的正惯性指数为p=1,又矩阵A满足A2-2A=3E,求此二次型的规范形并说明理由.

admin2018-06-12  30

问题 设二次型f(χ1,χ2,χ3,χ4)=χT>Aχ的正惯性指数为p=1,又矩阵A满足A2-2A=3E,求此二次型的规范形并说明理由.

选项

答案设λ是矩阵A的任一特征值,α是矩阵A属于特征值λ的特征向量,即Aα=λα,α≠0.那么(A2-2A)α=3α,即有(λ3-λ-3)α=0,即有λ2-2λ-3=0,故λ=3或-1. 又因正惯性指数P=1,故f的特征值必为3,-1,-1,-1. 所以,二次型的规范形是y12-y22-y32-y42

解析
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