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A=,证明|χE-A|的4个根为之和等于a11+a22+a33+a44.
A=,证明|χE-A|的4个根为之和等于a11+a22+a33+a44.
admin
2016-10-21
47
问题
A=
,证明|χE-A|的4个根为之和等于a
11
+a
22
+a
33
+a
44
.
选项
答案
设4个根为χ
1
,χ
2
,χ
3
,χ
4
.因为|χE—A|是χ的4次多项式,并且χ
4
的系数为1,所以 |χE-A|=(χ-χ
1
)(χ-χ
2
)(χ-χ
3
)(χ-χ
4
). 从右侧看为-(χ
1
+χ
2
+χ
3
+χ
4
);再从左侧看,因为|χE-A|对角线外的元素都是不含χ的常数,所以在其展开式的24项中,只有对角线元素的乘积(χ-a
11
)(χ-a
22
)(χ-a
33
)(χ-a
44
)这一项包含χ
3
的,并且系数为-(a
11
+a
22
+a
33
+a
44
).于是χ
1
+χ
2
+χ
3
+χ
4
=a
11
+a
22
+a
33
+a
44
.
解析
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考研数学二
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