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[2006年] 微分方程y′=y(1一x)/x的通解是_________.
[2006年] 微分方程y′=y(1一x)/x的通解是_________.
admin
2021-01-19
65
问题
[2006年] 微分方程y′=y(1一x)/x的通解是_________.
选项
答案
先分离变量再两边积分,也可用凑导数法求之. 解一 直接利用分离变量法求解.由原方程易得到 [*] 两边积分得到 ln∣y∣=ln∣x∣一x+C
1
, 即 ln[*]=C
1
一x. 故[*]=e
C
1
-x
=e
-x
e
C
1
,所以∣y∣=∣x∣e
-x
e
C
1
=e
C
1
∣x∣e
-x
,去掉绝对值符号将e
C
1
改写为C,并认为C可取正值或负值,得到y=Cxe
-x
. 由于y=0也是原方程的解.式y=Cxe
-x
中的C也可为0,于是得通解为y=Cxe
-x
(C为任意常数). 解二 由y′=y(1一x)/x得xy′一y=xy,即(xy′一y)/x
2
=y/x,故(y/x)′=y/x(x≠0). 设u=y/x,则u′一u=0,所以 u=Ce
∫(-1)dx
=Ce
-x
, 即 y=Cxe
-x
(x≠0).
解析
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考研数学二
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