[2006年] 微分方程y′=y(1一x)／x的通解是_________．

admin2021-01-19 98

问题 [2006年] 微分方程y′=y(1一x)／x的通解是_________．

选项

答案先分离变量再两边积分，也可用凑导数法求之．解一直接利用分离变量法求解．由原方程易得到 [*] 两边积分得到 ln∣y∣=ln∣x∣一x+C₁，即 ln[*]=C₁一x．故[*]=e^C₁-x=e^-xe^C₁，所以∣y∣=∣x∣e^-xe^C₁=e^C₁∣x∣e^-x，去掉绝对值符号将e^C₁改写为C，并认为C可取正值或负值，得到y=Cxe^-x．由于y=0也是原方程的解．式y=Cxe^-x中的C也可为0，于是得通解为y=Cxe^-x(C为任意常数)．解二由y′=y(1一x)／x得xy′一y=xy，即(xy′一y)／x²=y／x，故(y／x)′=y／x(x≠0)．设u=y／x，则u′一u=0，所以 u=Ce^∫(-1)dx=Ce^-x，即 y=Cxe^-x (x≠0)．

解析

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考研数学二

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