2. 考研
  3. [2006年] 微分方程y′=y(1一x)／x的通解是_________．

[2006年] 微分方程y′=y(1一x)／x的通解是_________．

admin2021-01-19  70
问题 [2006年]  微分方程y′=y(1一x)／x的通解是_________．
选项
答案 先分离变量再两边积分，也可用凑导数法求之． 解一 直接利用分离变量法求解．由原方程易得到 [*] 两边积分得到 ln∣y∣=ln∣x∣一x+C1， 即 ln[*]=C1一x． 故[*]=eC1-x=e-xeC1，所以∣y∣=∣x∣e-xeC1=eC1∣x∣e-x，去掉绝对值符号将eC1改写为C，并认为C可取正值或负值，得到y=Cxe-x． 由于y=0也是原方程的解．式y=Cxe-x中的C也可为0，于是得通解为y=Cxe-x(C为任意常数)． 解二 由y′=y(1一x)／x得xy′一y=xy，即(xy′一y)／x2=y／x，故(y／x)′=y／x(x≠0)． 设u=y／x，则u′一u=0，所以 u=Ce∫(-1)dx=Ce-x， 即 y=Cxe-x (x≠0)．
解析
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考研数学二

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