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设f(x),g(x)为[a,b]上连续的增函数(0<a<b),证明: ∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b一a)∫abf(x)g(x)dx.
设f(x),g(x)为[a,b]上连续的增函数(0<a<b),证明: ∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b一a)∫abf(x)g(x)dx.
admin
2019-02-23
50
问题
设f(x),g(x)为[a,b]上连续的增函数(0<a<b),证明:
∫
a
b
f(x)dx∫
a
b
g(x)dx≤(b一a)∫
a
b
f(x)g(x)dx.
选项
答案
令F(x,y)=[f(x)-f(y)][g(x)-g(y)],D={(x,y)|a≤x≤b,a≤y≤b),因为f(x),g(x)在[a,b]上为增函数,所以F(x,y)≥0,从而∫
a
b
dx∫
a
b
F(x,y)dy≥0, 而∫
a
b
dx∫
a
b
F(x,y)dy=∫
a
b
dx∫
a
b
[f(x)g(x)-f(x)g(y)-f(y)g(x)+f(y)g(y)]dy =(b一a)∫
a
b
}f(x)g(x)dx—∫
a
b
f(x)dx∫
a
b
g(y)dy—∫
a
b
g(x)dx∫
a
b
f(y)dy+(b一a)∫
a
b
f(y)g(y)dy =2(b一a)∫
a
b
f(x)g(x)dx一2∫
a
b
f(x)dx∫
a
b
g(x)dx, 故∫
a
b
f(x)dx∫
a
b
g(x)dx≤(b一a)∫
a
b
f(x)g(x)dx.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/xqj4777K
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考研数学二
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