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  3. 试求函数f(x，y)=8x2+3y2+1-(2x2+y2+1)2在闭区域D={(x，y)｜x2+y2≤1)中的最大值、最小值及其所对应的最大、最小值点．

试求函数f(x，y)=8x2+3y2+1-(2x2+y2+1)2在闭区域D={(x，y)｜x2+y2≤1)中的最大值、最小值及其所对应的最大、最小值点．

admin2022-07-21  19
问题 试求函数f(x，y)=8x2+3y2+1-(2x2+y2+1)2在闭区域D={(x，y)｜x2+y2≤1)中的最大值、最小值及其所对应的最大、最小值点．
选项
答案当x2+y2＜1时，令 [*] 把上面点代入二阶导数，通过极值的充分条件可知，函数f(x，y)在P0(0，0)为最小值， [*] 函数f(x，y)在边界x2+y2=1的最大值、最小值问题，相当于在等式x2+y2=1约束条件下求目标函数f(x，y)=8x2+3y2+1-(2x2+y2+1)2的条件极值问题．可以把条件x2+y2=1代入目标函数得 f(x，y)=5x2+4-(x2+2)2 归结为一元函数g(x)=5x2+4-(x2+2)2在闭区间-1≤x≤1的最大、最小值问题，令 g’(x)=10x-4x(x2+2)=2x(1-2x2)=0 [*] 另外还要考虑函数g(x)在区间-1≤x≤1的边界x=±1的函数值g(±1)=0，此时相应的函数f(x，y)在相应的点(±1，0)的值为f(±1，0)=0． 比较极值和边界点的函数值得，函数f(x，y)在区域D={(x，y)｜x2+y2≤1}上的最大值为1，对应的最大值点为(0，0)，(0，-1)，(0，1)，(1，0)，(-1，0)；最小值为0，对应的最小值点为[*]
解析
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考研数学一

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