设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=min{X，2}的分布函数( )

admin2019-07-12 35

问题设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=min{X，2}的分布函数( )

选项 A、是连续函数
B、至少有两个间断点
C、是阶梯函数
D、恰好有一个间断点

答案D

解析考虑分布函数的连续性问题，需求出其分布函数。因为X服从指数分布，则其概率密度为

其中λ＞0为参数。
由分布函数的定义
F_Y(y)=P{Y≤y}=P{min(X，2)≤y}，
当y＜0时，F_Y(y)=0；
当y≥2时，F_Y(y)=1；
当0≤y＜2时，
F_Y(y)=P{rain{X，2}≤y}=P{X≤y}=∫₀^yλe^—λxdx=1一e^—λy，
故

因为

F_Y(y)=1一e^—2λ≠F_Y(2)=1，所以Y=2是F_Y(y)的唯一间断点，故选D。

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