设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数． (1)证明：存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积； (2)设f(x)在(0，1)内可导，且f’(x)＞，

admin2019-08-23 45

问题设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数．
(1)证明：存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；
(2)设f(x)在(0，1)内可导，且f’(x)＞

，证明：(1)中的c是唯一的．

选项

答案(1)S₁(c)=cf(c)，S₂(c)=∫_c¹f(t)dt=一∫₁^cf(t)dt，即证明S₁(c)=S₂(c)，或cf(c)+∫₁^cf(t)dt=0．令φ(x)=x∫₁^xf(t)dt，φ(0)=φ(1)=0，根据罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得φ’(c)=0，即cf(c)+∫₁^cf(t)dt=0，所以S₁(c)=S₂(c)，命题得证． (2)令h(x)=xf(x)一∫_x¹f(t)dt，因为h’(x)=2f(x)+xf’(x)＞0，所以h(x)在[0，1]上为单调函数，所以(1)中的c是唯一的．

解析

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考研数学一

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设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数． (1)证明：存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积； (2)设f(x)在(0，1)内可导，且f’(x)＞，

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设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，证明存在ξ，η∈(a，b)，使得eη—ξ[f(η)+f′(η)]=1。

设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明存在ξ∈(a，b)，使得f″(ξ)=g″(ξ)。

设f(x，y)=则fx(0，1)()

设f(x)是连续函数。当f(x)是以2为周期的周期函数时，证明函数G(x)=2∫0xf(t)dt—x∫02f(t)dt也是以2为周期的周期函数。

已知曲线L的方程为y=1—｜x｜，x∈[—1，1]，起点是(—1，0)，终点是(1，0)，则曲线积分=________。

求经过直线，且与点A(4，1，2)的距离等于3的平面方程。

设直线L过A(1，0，0)，B(0，1，1)两点，将L绕z轴旋转一周得到曲面Σ，Σ与平面z=0，z=2所围成的立体为Ω。求Ω的形心坐标。

已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换化为椭圆柱面方程η2+4ζ2=4，求a，b的值和正交矩阵P。

曲面z2+2y2+3z2=21在点(1，一2，2)的法线方程为_________．

球面x2+y2+z2=4a2与柱面x2+y2=2ax所围成立体体积等于()

ItAhasreportedthat200peoplediedandBover5000lostCtheirsheltersDaftertheflood.

预防维生素D缺乏最重要的方法是

类风湿性关节炎最常累及的关节是

2002年，甲乙两村发生用地争议，某县政府召开协调会并形成会议纪要。2008年12月，甲村一村民向某县政府申请查阅该会议纪要。下列哪些选项是正确的?()(司考2009．2．81)

假设开发法更深层的理论依据,类似于()。

()是商品交换和市场经济存在的基础，是现代经济发展的重要资源，是任何市场主体进行投资、生产决策的基本依据。

合同可变更，撤销的前提是()。

可用于几乎所有金属和合金的焊接，特别是有色金属、不锈钢和耐热钢，其焊接板材厚度在3mm以下为宜，此种焊接方法为(　　)。

社会主义制度的巩固．社会主义事业的发展，只能是两个文明同时建设、相互促进的结果。两手都硬起来，能两个文明一起上；单有一手硬，可能有一时的效果，最终两个文明建设都上不去。填入划横线部分最恰当的一项是()。

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设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数． (1)证明：存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积； (2)设f(x)在(0，1)内可导，且f’(x)＞，

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2002年，甲乙两村发生用地争议，某县政府召开协调会并形成会议纪要。2008年12月，甲村一村民向某县政府申请查阅该会议纪要。下列哪些选项是正确的?()(司考2009．2．81)

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()是商品交换和市场经济存在的基础，是现代经济发展的重要资源，是任何市场主体进行投资、生产决策的基本依据。

合同可变更，撤销的前提是()。

可用于几乎所有金属和合金的焊接，特别是有色金属、不锈钢和耐热钢，其焊接板材厚度在3mm以下为宜，此种焊接方法为( )。

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可用于几乎所有金属和合金的焊接，特别是有色金属、不锈钢和耐热钢，其焊接板材厚度在3mm以下为宜，此种焊接方法为(　　)。