2. 考研
  3. 设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数． (1)证明：存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积； (2)设f(x)在(0，1)内可导，且f’(x)＞，

设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数． (1)证明：存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积； (2)设f(x)在(0，1)内可导，且f’(x)＞，

admin2019-08-23  25
问题 设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数．
    (1)证明：存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；
    (2)设f(x)在(0，1)内可导，且f’(x)＞，证明：(1)中的c是唯一的．
选项
答案(1)S1(c)=cf(c)，S2(c)=∫c1f(t)dt=一∫1cf(t)dt，即证明S1(c)=S2(c)，或cf(c)+∫1cf(t)dt=0．令φ(x)=x∫1xf(t)dt，φ(0)=φ(1)=0，根据罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得φ’(c)=0，即cf(c)+∫1cf(t)dt=0，所以S1(c)=S2(c)，命题得证． (2)令h(x)=xf(x)一∫x1f(t)dt，因为h’(x)=2f(x)+xf’(x)＞0，所以h(x)在[0，1]上为单调函数，所以(1)中的c是唯一的．
解析
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考研数学一

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