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设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明存在ξ∈(a,b),使得f″(ξ)=g″(ξ)。
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明存在ξ∈(a,b),使得f″(ξ)=g″(ξ)。
admin
2018-12-29
56
问题
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明存在ξ∈(a,b),使得f″(ξ)=g″(ξ)。
选项
答案
构造辅助函数F(x)=f(x)—g(x),由题设有F(a)=F(b)=0。又f(x),g(x)在(a,b)内具有相等的最大值,不妨设存在x
1
≤x
2
,x
1
,x
2
∈(a,b)使得 f(x
1
)=M=[*],g(x
2
)=M=[*]。 若x
1
=x
2
,令C=x
1
,则F(c)=0。 若x
1
<x
2
,因F(x
1
)=f(x
1
)—g(x
1
)≥0,F(x
2
)=f(x
2
)—g(x
2
)≤0,从而存在c∈[x
1
,x
2
][*](a,b),使F(c)=0。 在区间[a,c],[c,b]上分别利用罗尔定理知,存在ξ
1
∈(a,c),ξ
2
∈(c,b),使得 f′(ξ
1
)=f′(ξ
2
)=0, 再对f′(x)在区间[ξ
1
,ξ
2
]上应用罗尔定理,知存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](a,b),使f″(ξ)=0,即 f″(ξ)=g″(ξ)。
解析
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考研数学一
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