试确定常数a与b,使得经变换u=x+ay,v=x+6y,可将方程(其中z具有二阶连续偏导数),并求z=z(x+ay,x+by)。

admin2018-12-29  28

问题 试确定常数a与b,使得经变换u=x+ay,v=x+6y,可将方程(其中z具有二阶连续偏导数),并求z=z(x+ay,x+by)。

选项

答案因为z具有二阶连续偏导数,所以[*]。根据链式法则,有 [*] 代入所给方程得 [*] 按题意,应取1—4a+3a2=0,1—4b+3b2=0,即 (1—3a)(1—a)=0,(1—3b)(1—b)=0, 其解分别为 [*] 若取第一组解时,[*]的系数为0,不合题意。同理,取第四组解时,[*]的系数也为0。 取[*],等式两边同时对u积分可得[*],其中φ(v)为v的任意可微函数。于是z=∫φ(v)dv+ψ(u)=Φ(v)+ψ(u),其中ψ(u)为u的任意的可微函数。Φ(v)为φ(v)的一个原函数。 [*] 由于Φ与ψ的任意性,所以两组解其实是一样的。

解析
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