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设A为3阶矩阵,3维列向量α,Aα,A2α线性无关,且满足3Aα-2A2α-A3α=0,令矩阵P=[α,Aα,A2α], (1)求矩阵B,使AP=PB; (2)证明A相似于对角矩阵.
设A为3阶矩阵,3维列向量α,Aα,A2α线性无关,且满足3Aα-2A2α-A3α=0,令矩阵P=[α,Aα,A2α], (1)求矩阵B,使AP=PB; (2)证明A相似于对角矩阵.
admin
2020-03-16
70
问题
设A为3阶矩阵,3维列向量α,Aα,A
2
α线性无关,且满足3Aα-2A
2
α-A
3
α=0,令矩阵P=[α,Aα,A
2
α],
(1)求矩阵B,使AP=PB;
(2)证明A相似于对角矩阵.
选项
答案
(1)AP=A[α,Aα,A
2
α]=[Aα,A
2
α,A
3
α]=[Aα,A
2
α,3Aα-2A
2
α] =[α,Aα,A
2
α][*]=PB,其中B=[*]. (2)由(1)有AP=PB,因P可逆,得P
-1
AP=B,即A与B相似,易求出B的特征值为0,1,-3,故A的特征值亦为0,1,-3,A
2×3
有3个互不相同特征值,因此A相似于对角阵.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/y7A4777K
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考研数学二
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