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  3. (2000年)设函数f(x)在[0．π]上连续．且试证：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1和ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．

(2000年)设函数f(x)在[0．π]上连续．且试证：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1和ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．

admin2018-07-01  36
问题 (2000年)设函数f(x)在[0．π]上连续．且试证：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1和ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．
选项
答案证1 令[*] 则F(0)=F(x)=0 又 [*] 所以存在ξ∈(0，π)，使F(ξ)sinξ=0，因若不然，则在(0，π)内或F(x)sinx恒为正，或F(x)sinx恒为负，均与[*]矛盾．但当ξ∈(0，π)时，sinξ≠0，故F(ξ)=0． 由此证得F(0)=F(ξ)=F(π)=0 (0＜ξ＜π) 再对F(x)在[0，ξ]和[ξ，π]上分别应用罗尔中值定理，知至少存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)，使 F’(ξ1)=F’(ξ2)=0 即 f(ξ1)=f(ξ2)=0 证2 由[*]及f(x)的连续性可知，存在ξ1∈(0，π)，使f(ξ1)=0．因若不然，则在(0，π)内或f(x)恒为正，或f(x)恒为负，均与[*]矛盾． 若在(0，π)内f(x)=0仅有一个实根x=ξ1，则由[*]推知，f(x)在(0，ξ1)内与(ξ1，π)内异号，不妨设在(0，ξ1)内f(x)＞0，在(ξ1，π)内f(x)＜0．于是再由[*]及cosx在[0，π]上的单调性知 [*] 得出矛盾．从而推知，在(0，π)内除ξ1外，f(x)=0至少还有另一实根ξ2，故知存在ξ1，ξ2∈(0，π)，ξ1≠ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．
解析 构造函数显然F’(x)=f(x)．若能证明F(x)在[0，π]上有三个零点，由罗尔定理可知在(0，π)上至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使F’(ξ1)=F’(ξ2)=0，即f(ξ1)=f(ξ2)=0．而F(0)=0，F(π)=0，所以只要证在(0，π)内至少还有F(x)的一个零点即可．
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