首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
(2000年)设函数f(x)在[0.π]上连续.且试证:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1和ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
(2000年)设函数f(x)在[0.π]上连续.且试证:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1和ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
admin
2018-07-01
54
问题
(2000年)设函数f(x)在[0.π]上连续.且
试证:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ
1
和ξ
2
,使f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0.
选项
答案
证1 令[*] 则F(0)=F(x)=0 又 [*] 所以存在ξ∈(0,π),使F(ξ)sinξ=0,因若不然,则在(0,π)内或F(x)sinx恒为正,或F(x)sinx恒为负,均与[*]矛盾.但当ξ∈(0,π)时,sinξ≠0,故F(ξ)=0. 由此证得F(0)=F(ξ)=F(π)=0 (0<ξ<π) 再对F(x)在[0,ξ]和[ξ,π]上分别应用罗尔中值定理,知至少存在ξ
1
∈(0,ξ),ξ
2
∈(ξ,π),使 F’(ξ
1
)=F’(ξ
2
)=0 即 f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0 证2 由[*]及f(x)的连续性可知,存在ξ
1
∈(0,π),使f(ξ
1
)=0.因若不然,则在(0,π)内或f(x)恒为正,或f(x)恒为负,均与[*]矛盾. 若在(0,π)内f(x)=0仅有一个实根x=ξ
1
,则由[*]推知,f(x)在(0,ξ
1
)内与(ξ
1
,π)内异号,不妨设在(0,ξ
1
)内f(x)>0,在(ξ
1
,π)内f(x)<0.于是再由[*]及cosx在[0,π]上的单调性知 [*] 得出矛盾.从而推知,在(0,π)内除ξ
1
外,f(x)=0至少还有另一实根ξ
2
,故知存在ξ
1
,ξ
2
∈(0,π),ξ
1
≠ξ
2
,使f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0.
解析
构造函数
显然F’(x)=f(x).若能证明F(x)在[0,π]上有三个零点,由罗尔定理可知在(0,π)上至少存在两个不同的点ξ
1
,ξ
2
,使F’(ξ
1
)=F’(ξ
2
)=0,即f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0.而F(0)=0,F(π)=0,所以只要证在(0,π)内至少还有F(x)的一个零点即可.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/yCg4777K
0
考研数学一
相关试题推荐
证明:不等式
计算曲面积分,其中S是由曲面x2+y2=R2及两平面z=R,z=一R(R>0)所围成立体表面的外侧.
设f(x)为连续函数,证明:
设f(x),g(x)是连续函数,当x→0时,f(x)与g(x)是等价无穷小,令F(x)=∫0xf(x—t)dt,G(x)=∫01xg(xt)出,则当x→0时,F(x)是G(x)的().
设f(x)是连续函数.
(87年)设则在x=a处
(2015年)
(2014年)下列曲线中有渐近线的是
(1992年)求
(1994年)设则在点处的值为___________.
随机试题
Globalwarmingiscausingmorethan300,000deathsandabout$125billionineconomiclosseseachyear,accordingtoareportby
在腹前壁上第4腰椎的体表定位点是
乙为水泥厂,甲为水泥销售公司。甲、乙订立一购销合同,约定乙于6月1日前送水泥1000吨给甲;甲支付定金10万元给乙。后乙于6月2日将1000吨水泥运至甲处。甲以乙违约(迟延履行1天)为由,要求乙双倍返还定金20万元。以下说法正确的是:
下列术语中卖方不负责办理出口手续及支付相关费用的是()。
可转换公司债券享受转换特权,在转换前和转换后的形式分别为()。
根据企业所得税相关规定,企业提供劳务完工进度的确定,可以选用的方法有()。
Whodesignedthefirsthelicopter?Who【C1】______themostfamouspicturesintheworld?Whoknewmoreaboutthehumanbodythanm
关于因特网的域名系统,以下哪种说法是错误的?______。
Whichwordcantaketheplaceoftheunderlinedword"fervency"inparagraph1?Theunusuallysurprisingwaythathescoredgoa
A、TomeetCharley.B、Toworkinhisoffice.C、Togotohospital.D、Toattendameeting.DM:ThisisCharleyspeaking.Couldyou
最新回复
(
0
)