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(2000年)设函数f(x)在[0.π]上连续.且试证:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1和ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
(2000年)设函数f(x)在[0.π]上连续.且试证:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1和ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
admin
2018-07-01
55
问题
(2000年)设函数f(x)在[0.π]上连续.且
试证:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ
1
和ξ
2
,使f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0.
选项
答案
证1 令[*] 则F(0)=F(x)=0 又 [*] 所以存在ξ∈(0,π),使F(ξ)sinξ=0,因若不然,则在(0,π)内或F(x)sinx恒为正,或F(x)sinx恒为负,均与[*]矛盾.但当ξ∈(0,π)时,sinξ≠0,故F(ξ)=0. 由此证得F(0)=F(ξ)=F(π)=0 (0<ξ<π) 再对F(x)在[0,ξ]和[ξ,π]上分别应用罗尔中值定理,知至少存在ξ
1
∈(0,ξ),ξ
2
∈(ξ,π),使 F’(ξ
1
)=F’(ξ
2
)=0 即 f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0 证2 由[*]及f(x)的连续性可知,存在ξ
1
∈(0,π),使f(ξ
1
)=0.因若不然,则在(0,π)内或f(x)恒为正,或f(x)恒为负,均与[*]矛盾. 若在(0,π)内f(x)=0仅有一个实根x=ξ
1
,则由[*]推知,f(x)在(0,ξ
1
)内与(ξ
1
,π)内异号,不妨设在(0,ξ
1
)内f(x)>0,在(ξ
1
,π)内f(x)<0.于是再由[*]及cosx在[0,π]上的单调性知 [*] 得出矛盾.从而推知,在(0,π)内除ξ
1
外,f(x)=0至少还有另一实根ξ
2
,故知存在ξ
1
,ξ
2
∈(0,π),ξ
1
≠ξ
2
,使f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0.
解析
构造函数
显然F’(x)=f(x).若能证明F(x)在[0,π]上有三个零点,由罗尔定理可知在(0,π)上至少存在两个不同的点ξ
1
,ξ
2
,使F’(ξ
1
)=F’(ξ
2
)=0,即f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0.而F(0)=0,F(π)=0,所以只要证在(0,π)内至少还有F(x)的一个零点即可.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/yCg4777K
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