设f(x)在[0，1]连续可导，且f(0)＝0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)＝．证明：方程fn(x)=1在[0，+∞)有唯一实根xn；

admin2015-07-04 53

问题设f(x)在[0，1]连续可导，且f(0)＝0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)＝

．
证明：方程fⁿ(x)=1在[0，+∞)有唯一实根xⁿ；

选项

答案f_n(x)连续，且f_n(0)=0，f_n(1)=n＞1，由介值定理，[*]x_n∈(0，1)，使f_n(x_n)=1，n=2，3，…，又x＞0时，f_n’(x)=1+2x+…+nx^n－1＞0，故f_n(x)严格单增，因此x_n是f_n(x)=1在[0，+∞)内的唯一实根．

解析

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考研数学一

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