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设f(x)在[0,1]连续可导,且f(0)=0.证明:存在ξ∈[0,1],使得f’(ξ)=. 证明:方程fn(x)=1在[0,+∞)有唯一实根xn;
设f(x)在[0,1]连续可导,且f(0)=0.证明:存在ξ∈[0,1],使得f’(ξ)=. 证明:方程fn(x)=1在[0,+∞)有唯一实根xn;
admin
2015-07-04
62
问题
设f(x)在[0,1]连续可导,且f(0)=0.证明:存在ξ∈[0,1],使得f’(ξ)=
.
证明:方程f
n
(x)=1在[0,+∞)有唯一实根x
n
;
选项
答案
f
n
(x)连续,且f
n
(0)=0,f
n
(1)=n>1,由介值定理,[*]x
n
∈(0,1),使f
n
(x
n
)=1,n=2,3,…,又x>0时,f
n
’(x)=1+2x+…+nx
n-1
>0,故f
n
(x)严格单增,因此x
n
是f
n
(x)=1在[0,+∞)内的唯一实根.
解析
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考研数学一
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