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设函数f(x)连续且恒大于零, 其中Ω(t)={x,y,z)|x2+y2+z2≤t2},D(t)={(x,y)|x2+y2≤t2}. (1)讨论F(t)在区间(0,+∞)内的单调性. (2)证明当t>0时,F(t)>G(t).
设函数f(x)连续且恒大于零, 其中Ω(t)={x,y,z)|x2+y2+z2≤t2},D(t)={(x,y)|x2+y2≤t2}. (1)讨论F(t)在区间(0,+∞)内的单调性. (2)证明当t>0时,F(t)>G(t).
admin
2016-01-15
56
问题
设函数f(x)连续且恒大于零,
其中Ω(t)={x,y,z)|x
2
+y
2
+z
2
≤t
2
},D(t)={(x,y)|x
2
+y
2
≤t
2
}.
(1)讨论F(t)在区间(0,+∞)内的单调性.
(2)证明当t>0时,F(t)>
G(t).
选项
答案
(1)因为 [*] ∫
0
t
f(r
2
)r
2
dr∫
0
t
drf(r
2
)dr一[∫
0
t
f(r
2
)rdr]
2
>0. 令 g(t)=∫
0
t
f(r
2
)r
2
dr∫
0
t
f(r
2
)dr一[f(r
2
)rdr]
2
, 则 g’(t)=f(t
2
)∫
0
t
f(r
2
)(t一r)
2
dr>0, 故g(t)在(0,+∞)内单调增加. 因为g(t)在t=0处连续,所以当t>0时,有g(t)>g(0).又g(0)=0,故当t>0时,g(t)>0. 因此,当t>0时,F(t)>[*]G(t).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/yJw4777K
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考研数学一
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