2. 考研
  3. 设函数f(x)连续且恒大于零， 其中Ω(t)={x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，D(t)={(x，y)｜x2+y2≤t2}． (1)讨论F(t)在区间(0，+∞)内的单调性． (2)证明当t＞0时，F(t)＞G(t)．

设函数f(x)连续且恒大于零， 其中Ω(t)={x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，D(t)={(x，y)｜x2+y2≤t2}． (1)讨论F(t)在区间(0，+∞)内的单调性． (2)证明当t＞0时，F(t)＞G(t)．

admin2016-01-15  61
问题 设函数f(x)连续且恒大于零，

其中Ω(t)={x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，D(t)={(x，y)｜x2+y2≤t2}．
    (1)讨论F(t)在区间(0，+∞)内的单调性．
    (2)证明当t＞0时，F(t)＞G(t)．
选项
答案(1)因为 [*] ∫0tf(r2)r2dr∫0tdrf(r2)dr一[∫0tf(r2)rdr]2＞0． 令 g(t)=∫0tf(r2)r2dr∫0tf(r2)dr一[f(r2)rdr]2， 则 g’(t)=f(t2)∫0tf(r2)(t一r)2dr＞0， 故g(t)在(0，+∞)内单调增加． 因为g(t)在t=0处连续，所以当t＞0时，有g(t)＞g(0)．又g(0)=0，故当t＞0时，g(t)＞0． 因此，当t＞0时，F(t)＞[*]G(t)．
解析
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考研数学一

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