设函数f(x)连续且恒大于零，其中Ω(t)={x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，D(t)={(x，y)｜x2+y2≤t2}． (1)讨论F(t)在区间(0，+∞)内的单调性． (2)证明当t＞0时，F(t)＞G(t)．

admin2016-01-15 88

问题设函数f(x)连续且恒大于零，

其中Ω(t)={x，y，z)｜x²+y²+z²≤t²}，D(t)={(x，y)｜x²+y²≤t²}．
(1)讨论F(t)在区间(0，+∞)内的单调性．
(2)证明当t＞0时，F(t)＞

G(t)．

选项

答案(1)因为 [*] ∫₀^tf(r²)r²dr∫₀^tdrf(r²)dr一[∫₀^tf(r²)rdr]²＞0．令 g(t)=∫₀^tf(r²)r²dr∫₀^tf(r²)dr一[f(r²)rdr]²，则 g’(t)=f(t²)∫₀^tf(r²)(t一r)²dr＞0，故g(t)在(0，+∞)内单调增加．因为g(t)在t=0处连续，所以当t＞0时，有g(t)＞g(0)．又g(0)=0，故当t＞0时，g(t)＞0．因此，当t＞0时，F(t)＞[*]G(t)．

解析

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