设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维列向量，α1≠0，满足Aα1=2α1，Aα2=α1+2α2，Aα3=α2+2α3．证明α1，α2，α3线性无关；

admin2021-07-27 43

问题设A是3阶矩阵，α₁，α₂，α₃是3维列向量，α₁≠0，满足Aα₁=2α₁，Aα₂=α₁+2α₂，Aα₃=α₂+2α₃．
证明α₁，α₂，α₃线性无关；

选项

答案由题设条件，得(A-2E)α₁=0，(A-2E)α₂=α₁，(A-2E)α₃=α₂．设存在常数k₁，k₂，k₃，使k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0．① ①式两端左乘A-2E，得k₂α₁+k₃α₂=0；② ②式两端左乘A-2E，得k₃α₁=0．因α₁≠0，故k₃=0，代回②式，得k₂=0，代回①式得k₁=0．故k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0→k₁=k₂=k₃=0，得证α₁，α₂，α₃线性无关．

解析

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考研数学二

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