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设A是3阶矩阵,α1,α2,α3是3维列向量,α1≠0,满足Aα1=2α1,Aα2=α1+2α2,Aα3=α2+2α3. 证明α1,α2,α3线性无关;
设A是3阶矩阵,α1,α2,α3是3维列向量,α1≠0,满足Aα1=2α1,Aα2=α1+2α2,Aα3=α2+2α3. 证明α1,α2,α3线性无关;
admin
2021-07-27
58
问题
设A是3阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是3维列向量,α
1
≠0,满足Aα
1
=2α
1
,Aα
2
=α
1
+2α
2
,Aα
3
=α
2
+2α
3
.
证明α
1
,α
2
,α
3
线性无关;
选项
答案
由题设条件,得(A-2E)α
1
=0,(A-2E)α
2
=α
1
,(A-2E)α
3
=α
2
.设存在常数k
1
,k
2
,k
3
,使k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0.① ①式两端左乘A-2E,得k
2
α
1
+k
3
α
2
=0;② ②式两端左乘A-2E,得k
3
α
1
=0. 因α
1
≠0,故k
3
=0,代回②式,得k
2
=0,代回①式得k
1
=0.故k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0→k
1
=k
2
=k
3
=0,得证α
1
,α
2
,α
3
线性无关.
解析
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0
考研数学二
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