2. 考研
  3. 设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维列向量，α1≠0，满足Aα1=2α1，Aα2=α1+2α2，Aα3=α2+2α3． 证明α1，α2，α3线性无关；

设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维列向量，α1≠0，满足Aα1=2α1，Aα2=α1+2α2，Aα3=α2+2α3． 证明α1，α2，α3线性无关；

admin2021-07-27  49
问题 设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维列向量，α1≠0，满足Aα1=2α1，Aα2=α1+2α2，Aα3=α2+2α3．
证明α1，α2，α3线性无关；
选项
答案由题设条件，得(A-2E)α1=0，(A-2E)α2=α1，(A-2E)α3=α2．设存在常数k1，k2，k3，使k1α1+k2α2+k3α3=0．① ①式两端左乘A-2E，得k2α1+k3α2=0；② ②式两端左乘A-2E，得k3α1=0． 因α1≠0，故k3=0，代回②式，得k2=0，代回①式得k1=0．故k1α1+k2α2+k3α3=0→k1=k2=k3=0，得证α1，α2，α3线性无关．
解析
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考研数学二

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