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若A,B均为n阶矩阵,且A2=A,B2=B,r(A)=r(B),证明:A,B必为相似矩阵.
若A,B均为n阶矩阵,且A2=A,B2=B,r(A)=r(B),证明:A,B必为相似矩阵.
admin
2018-08-22
44
问题
若A,B均为n阶矩阵,且A
2
=A,B
2
=B,r(A)=r(B),证明:A,B必为相似矩阵.
选项
答案
由A
2
=A,可知A的特征值为0或1,对应于0,1的线性无关的特征向量的个数分别为n-r(0E-A)与n-r(1E-A). 又由于A
2
一A=O,即A(A—E)=O,则r(A)+r(A—E)≤n,于是A的线性无关的特征向量的总个数为 n-r(0E-A)+n-r(1E—A)=2n一[r(一A)+r(E-A)]≥2n一n=n,故A有n个线性无关的特征向量,则A可相似对角化. 同理,B的特征值为0或1,可相似对角化,且由题设,r(A)=r(B),可知A,B有完全相同的特征值,即A,B相似于同一对角矩阵.故A,B必相似.
解析
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考研数学二
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