已知由线积分+[f(x)一x2]dy与路径无关，其中f(x)有连续一阶导数，f(0)=1，则∫(0,0)(1,1)yf(x)dx+[f(x)一x2]dy等于( )

admin2016-01-15 88

问题已知由线积分

+[f(x)一x²]dy与路径无关，其中f(x)有连续一阶导数，f(0)=1，则∫_(0,0)^(1,1)yf(x)dx+[f(x)一x²]dy等于( )

选项 A、3e+1．
B、3e+5．
C、3e+2．
D、3e一5．

答案D

解析由于曲线积分

yf(x)dx+[f(x)一x²]dy与路径无关，则f(x)=f’(x)一2x，即f’(x)一f(x)=2x．
f(x)=e^∫dx[∫2xe^—∫dxdx+C]=e^x∫2xe^—xdx+C]
=e^x[一2e^—x一2xe^—x+C]，
由f(0)=1知，C=3，故f(x)=3e^x一2x一2．
因此 ∫_(0,0)^(1,1)yf(x)dx+[f(x)一x²]dy=∫₀¹[f(1)一1]dy=f(1)一1=3e一5．

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考研数学一

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设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内存在二阶导数，且f(0)=0,f(1)=1,证明：对任意的a＞0,b＞0,存在ξ，η∈（0,1），使得.
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设f(x)在x=2处连续，且，则曲线y=f(x)在（2，f(2)）处的切线方程为________。
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