设A，B均为n阶方阵，A有n个互异特征值，且AB=BA．证明：B能相似于对角矩阵．

admin2021-02-25 56

问题设A，B均为n阶方阵，A有n个互异特征值，且AB=BA．证明：B能相似于对角矩阵．

选项

答案因A有n个互异特征值，所以存在可逆矩阵P，使 [*] 其中λ₁，λ₂，…，λ_n是A的特征值，且λ_i≠λ_j(i≠j)．于是，根据题设AB=BA，得 (P^-1AP)(P^-1BP)=P^-1ABP=P^-1BAP=(P^-1BP)(P^-1AP)，即 Λ(P^-1BP)=(P^-1BP)Λ．令P^-1BP=(c_ij)_n×n，代入上式，有 [*] 比较两边元素得λ_ic_ij=λ_jc_ij，即(λ_i-λ_j)c_ij=0．由此有c_ij=0(i≠j)，故 [*]

解析本题考查矩阵相似对角化的条件．

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