2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上有二阶导数，且f’(x)＞0． (Ⅰ)证明至少存在一点ξ∈(a，b)，使 ∫abf(x)dx=f(b)(ξ一a)+f(a)(b—ξ)； (Ⅱ)对(Ⅰ)中的ξ∈(a，6)，求．

设f(x)在[a，b]上有二阶导数，且f’(x)＞0． (Ⅰ)证明至少存在一点ξ∈(a，b)，使 ∫abf(x)dx=f(b)(ξ一a)+f(a)(b—ξ)； (Ⅱ)对(Ⅰ)中的ξ∈(a，6)，求．

admin2019-07-28  53
问题 设f(x)在[a，b]上有二阶导数，且f’(x)＞0．
(Ⅰ)证明至少存在一点ξ∈(a，b)，使
    ∫abf(x)dx=f(b)(ξ一a)+f(a)(b—ξ)；
(Ⅱ)对(Ⅰ)中的ξ∈(a，6)，求．
选项
答案(Ⅰ)令φ(x)=f(b)(x一a)+f(a)(b一x)一∫abf(x)dx(0≤x≤b)， 即证φ(x)在(a，b)[*]零点．因f(x)在[a，b][*]→f(a)＜f(x)＜f(b)(x∈(a，b))→f(a)(b一a)＜∫abf(x)dx＜f(b)(b一a) φ(a)=f(a)(b一a)一∫abf(x)dx＜0， φ(b)=f(b)(b一a)一∫abf(x)dx＞0， 故由闭区间上连续函数的性质知存在ξ∈(a，b)，使得φ(ξ)=0，即 ∫abf(x)dx=f(b)(ξ一a)+f(a)(b一ξ)． Ⅱ由上式知∫abf(x)dx=f(b)(ξ一a)+f(a)[(b一a)一(ξ一a)]，从而 [*]
解析
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考研数学二

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