设f(x)在[a,b]上有二阶导数,且f’(x)>0. (Ⅰ)证明至少存在一点ξ∈(a,b),使 ∫abf(x)dx=f(b)(ξ一a)+f(a)(b—ξ); (Ⅱ)对(Ⅰ)中的ξ∈(a,6),求.

admin2019-07-28  46

问题 设f(x)在[a,b]上有二阶导数,且f’(x)>0.
(Ⅰ)证明至少存在一点ξ∈(a,b),使
    ∫abf(x)dx=f(b)(ξ一a)+f(a)(b—ξ);
(Ⅱ)对(Ⅰ)中的ξ∈(a,6),求

选项

答案(Ⅰ)令φ(x)=f(b)(x一a)+f(a)(b一x)一∫abf(x)dx(0≤x≤b), 即证φ(x)在(a,b)[*]零点.因f(x)在[a,b][*]→f(a)<f(x)<f(b)(x∈(a,b))→f(a)(b一a)<∫abf(x)dx<f(b)(b一a) φ(a)=f(a)(b一a)一∫abf(x)dx<0, φ(b)=f(b)(b一a)一∫abf(x)dx>0, 故由闭区间上连续函数的性质知存在ξ∈(a,b),使得φ(ξ)=0,即 ∫abf(x)dx=f(b)(ξ一a)+f(a)(b一ξ). Ⅱ由上式知∫abf(x)dx=f(b)(ξ一a)+f(a)[(b一a)一(ξ一a)],从而 [*]

解析
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