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设3维向量组α1,α2线性无关,β1,β2线性无关. (Ⅰ)证明:存在非零3维向量ξ,ξ既可由α1,α2线性表出,也可由β1,β2线性表出; (Ⅱ)若α1=(1,-2,3)T,α2=(2,1,1)T,β1=(-2,1,4)T,β2=(-5,-3,5)T.求
设3维向量组α1,α2线性无关,β1,β2线性无关. (Ⅰ)证明:存在非零3维向量ξ,ξ既可由α1,α2线性表出,也可由β1,β2线性表出; (Ⅱ)若α1=(1,-2,3)T,α2=(2,1,1)T,β1=(-2,1,4)T,β2=(-5,-3,5)T.求
admin
2019-07-28
65
问题
设3维向量组α
1
,α
2
线性无关,β
1
,β
2
线性无关.
(Ⅰ)证明:存在非零3维向量ξ,ξ既可由α
1
,α
2
线性表出,也可由β
1
,β
2
线性表出;
(Ⅱ)若α
1
=(1,-2,3)
T
,α
2
=(2,1,1)
T
,β
1
=(-2,1,4)
T
,β
2
=(-5,-3,5)
T
.求既可由α
1
,α
2
线性表出,也可由β
1
,β
2
线性表出的所有非零向量ξ.
选项
答案
(Ⅰ)因α
1
,α
2
,β
1
,β
2
均是3维向量,4个3维向量必线性相关,由定义知,存在不全为零的数k
1
,k
2
,λ
1
,λ
2
,使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+λ
1
β
1
+λ
2
β
2
=0, 得 k
1
α
1
+k
2
α
2
=-λ
1
β
1
-λ
2
β
2
. 取 ξ=k
1
α
1
+k
2
α
2
=-λ
1
β
1
-λ
2
β
2
, 若ξ=0,则 k
1
α
1
+k
2
α
2
=-λ
1
β
1
-λ
2
β
2
=0. 因α
1
,α
2
线性无关,β
1
,β
2
也线性无关,从而得出k
1
=k
2
=0,且λ
1
=λ
2
=0,这和4个3维向量必线性相关矛盾,故ξ≠0.ξ即为所求的既可由α
1
,α
2
线性表出,也可由β
1
,β
2
线性表出的非零向量. (Ⅱ)设ξ=k
1
α
1
+k
2
α
2
=-λ
1
β
1
-λ
2
β
2
,则得齐次线性方程组 k
1
α
1
+k
2
α
2
+λ
1
β
1
+λ
2
β
2
=0, 将α
1
,α
2
,β
1
,β
2
合并成矩阵,并作初等行变换得 (α
1
,α
2
,β
1
,β
2
)=[*] 解得 (k
1
,k
2
,λ
1
,λ
2
)=k(-1,2,-1,1). 故既可由α
1
,α
2
线性表出,又可以由β
1
,β
2
线性表出的所有非零向量为 ξ=k
1
α
1
+k
2
α
2
=-kα
1
+2kα
2
=-k[*],其中k是任意的非零常数 (或ξ=-λ
1
β
1
-λ
2
β
2
=kβ
1
-kβ
2
=k[*],其中k是任意的非零常数).
解析
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考研数学二
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