2. 考研
  3. 设有曲面S：=1，平面∏：2x+2y+z+5=0． (Ⅰ)在曲面S上求平行于平面∏的切平面方程； (Ⅱ)求曲面S与平面∏之间的最短距离．

设有曲面S：=1，平面∏：2x+2y+z+5=0． (Ⅰ)在曲面S上求平行于平面∏的切平面方程； (Ⅱ)求曲面S与平面∏之间的最短距离．

admin2018-11-21  38
问题 设有曲面S：=1，平面∏：2x+2y+z+5=0．
(Ⅰ)在曲面S上求平行于平面∏的切平面方程；
(Ⅱ)求曲面S与平面∏之间的最短距离．
选项
答案(Ⅰ)先写出曲面S上任意点(x0，y0，z0)处的切平面方程． 记S的方程为F(x，y，z)=0，F(x，y，z)=[*]一1，则S上点M0(x0，y0，z0)处的切平面方程为 F’x(M0)(x一x0)+F’y(M0)(y—y0)+F’(M0)(z—z0)=0， 其中，F’x(M0)=x0， F’y(M0)=2y0， F’z(M0)=[*]z0． 该切平面与平面∏平行←→它们的法向量共线即成比例[*]=λ，且 2x0+2y0+z0+5≠0． 因为M0(x0，y0，z0)在S上，所以它满足方程 [*](2λ)2=1， 即4λ2=1，λ=±[*]．于是，(x0，y0，z0)=±(1，[*]，1)．显然，(x0，y0，z0)不在平面∏上． 相应的切平面方程是 [*] 这就是曲面S上平行于平面∏的切平面方程． (Ⅱ)椭球面S是夹在上述两个切平面之间，故曲面S上切点到平面仃的距离最短或最长 [*] 因此，曲面S到平面仃的最短距离为d2=[*]．
解析
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考研数学一

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