设函数f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )·

admin2018-05-21 57

问题设函数f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )·

选项 A、∫₀^xt[f(t)－f(－t)]dt
B、∫₀^xt[f(t)+f(－t)]dt
C、∫₀^xf(t²)dt
D、∫₀²f²(t)dt

答案B

解析因为tf(t)－f(－t)]为偶函数，所以∫₀^xt[f(t)－f(－t)]dt为奇函数，(A)不对；
因为f(t²)为偶函数，所以∫₀^xf(t²)dt为奇函数，(C)不对；因为不确定f²(t)的奇偶性，所以(D)不对；令F(x)=∫₀^xt[f(t)+f(－t)]dt，
F(－x)=∫₀^－xt[f(t)+f(－t)]dt=∫₀^x(－u)[f(u)+f(－u)](－du)=F(x)，选(B)．

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