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  3. 设函数f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )·

设函数f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )·

admin2018-05-21  35
问题 设函数f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是(    )·
选项 A、∫0xt[f(t)－f(－t)]dt
B、∫0xt[f(t)+f(－t)]dt
C、∫0xf(t2)dt
D、∫02f2(t)dt
答案B
解析 因为tf(t)－f(－t)]为偶函数，所以∫0xt[f(t)－f(－t)]dt为奇函数，(A)不对；
因为f(t2)为偶函数，所以∫0xf(t2)dt为奇函数，(C)不对；因为不确定f2(t)的奇偶性，所以(D)不对；令F(x)=∫0xt[f(t)+f(－t)]dt，
F(－x)=∫0－xt[f(t)+f(－t)]dt=∫0x(－u)[f(u)+f(－u)](－du)=F(x)，选(B)．
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考研数学一

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