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[2017年] 设函数f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且f(1)>0,<0. 方程f(x)f″(x)+[f′(x)]2=0,在(0,1)内至少有两个不同的实根.
[2017年] 设函数f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且f(1)>0,<0. 方程f(x)f″(x)+[f′(x)]2=0,在(0,1)内至少有两个不同的实根.
admin
2019-06-09
65
问题
[2017年] 设函数f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且f(1)>0,
<0.
方程f(x)f″(x)+[f′(x)]
2
=0,在(0,1)内至少有两个不同的实根.
选项
答案
由罗尔定理知,存在ξ
2
∈(0,ξ
1
),使得f′(ξ
2
)=0. 构造辅助函数F(x)=f(x)f′(x),则F(0)=F(ξ
2
)=F(ξ
1
)=0. 再根据罗尔定理可得,存在η
1
∈(0,ξ
2
),ξ
2
∈(ξ
2
,ξ
1
),使得 F′(η
1
)=F′(η
2
)=0.结论得证.
解析
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考研数学二
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