已知随机变量X~N(0,1),求:(I)Y=的分布函数;(Ⅱ)Y=eX的概率密度;(Ⅲ)Y=|X|的概率密度.(结果可以用标准正态分布函数ψ(x)表示)

admin2018-11-20  33

问题 已知随机变量X~N(0,1),求:(I)Y=的分布函数;(Ⅱ)Y=eX的概率密度;(Ⅲ)Y=|X|的概率密度.(结果可以用标准正态分布函数ψ(x)表示)

选项

答案先用定义法求分布函数,而后再求概率密度. (I)由题设知Y是离散型随机变量,其概率分布为P{Y=一1}=P{X<1}=ψ(1), P{Y=1}=P{X≥1}=1一P{X<1}=1一ψ(1)=ψ(一1), 故Y的分布函数 [*] (Ⅱ)Y=eX的分布函数F(y)=P{Y≤y}=P{eX≤y},故 当y≤0时,F(y)=0;当y>0时,F(y)=P{X≤lny}=ψ(lny),即 [*] (Ⅲ)Y=|X|的分布函数F(y)=P{|X|≤Y},当y<0时,F(y)=0;当y≥0时, F(y)=P{|X|≤y}=P{一y≤X≤y}=ψ(y)一ψ(一y)=2ψ(y)一1, 即[*] 所以概率密度 [*]

解析
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