2. 考研
  3. (88年)设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且在(a，b)内有f’(x)＞0．证明：在(a，b)内存在唯一的ξ，使曲线y=f(x)与两直线y=f(ξ)，x=a所围平面图形面积S1是曲线y=f(x)与两直线y=f(ξ)，x=b所围平面图形面积S2的3倍．

(88年)设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且在(a，b)内有f’(x)＞0．证明：在(a，b)内存在唯一的ξ，使曲线y=f(x)与两直线y=f(ξ)，x=a所围平面图形面积S1是曲线y=f(x)与两直线y=f(ξ)，x=b所围平面图形面积S2的3倍．

admin2017-04-20  60
问题 (88年)设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且在(a，b)内有f’(x)＞0．证明：在(a，b)内存在唯一的ξ，使曲线y=f(x)与两直线y=f(ξ)，x=a所围平面图形面积S1是曲线y=f(x)与两直线y=f(ξ)，x=b所围平面图形面积S2的3倍．
选项
答案令F(x)=∫ax[f(x)一f(t)]dt-3∫xb[f(t)一f(x)]dt． 其中x∈[a，b]，显然F(x)在[a，b]上连续．又由f’(x)＞0知 f(a)＜f(x)＜f(b) x∈(a，b) 于是 F(a)=一3∫ab[f(t)一f(a)]dt＜0 F(b)=∫ab[f(b)一f(t)]dt＞0 由连续函数的介值
解析
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考研数学一

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