设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导存在相等的最大值,又f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明: (I)存在η∈(a,b),使得f(η)=g(η); (Ⅱ)存在ξ∈(a,b),使得f〞(ξ)=g〞(ξ).

admin2012-06-04  54

问题 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导存在相等的最大值,又f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:
(I)存在η∈(a,b),使得f(η)=g(η);
(Ⅱ)存在ξ∈(a,b),使得f〞(ξ)=g〞(ξ).

选项

答案(I)设f(x),g(x)在(a,b)内某点c∈(a,b)同时取得最大值,则f(c)=g(c),此时的c就是所求点η,使得f(η)=g(η), 若两个函数取得最大值的点不同,则可设f(c)=maxf(x),g(d)=maxg(x), 故有f(c)-g(c)>0,f(d)-g(d)<0, 由介值定理,在(c,d)内(或(d,c)内)肯定存在η,使得f(η)=g(η). (Ⅱ)由罗尔定理在区间(a,η)、(η,b)内分别存在一点ξ1,ξ2, 使得fˊ(ξ1)=gˊ(ξ1),fˊ(ξ2)=gˊ(ξ2).在区间(ξ1,ξ2)内再用罗尔定理, 即存在ξ∈(a,b),使得f〞(ξ)=g〞(ξ).

解析
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