证明:当x≥0时,f(x)=∫0x(t-t2)sin2ntdt的最大值不超过

admin2018-05-21  5

问题 证明:当x≥0时,f(x)=∫0x(t-t2)sin2ntdt的最大值不超过

选项

答案当x>0时,令f’(x)=(x-x2)sin2nx=0得x=1,x=kπ(k=1,2,…),当0<x<1时,f’(x)>0;当x>1时,f’(x)≤0(除x=kπ(k=1,2,…)外f’(x)<0),于是x=1为f(x)的最大值点,f(x)的最大值为f(1).因为当x≥0时,sinx≤x,所以当X∈[0,1]时,(x-x2)sin2nx≤(x-x2)x2n=x2n+1-x2n+2, 于是f(x)≤f(1)=∫01(x-x2)sin2nxdx ≤∫01(x2n+1-x2n+2)dx [*]

解析
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