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设f(χ)在χ=a处n(n≥2)阶可导,且χ→a时f(χ)是χ-a的n阶无穷小,求证:f(χ)的导函数f′(χ)当χ→a时是χ-a的n-1阶无穷小.
设f(χ)在χ=a处n(n≥2)阶可导,且χ→a时f(χ)是χ-a的n阶无穷小,求证:f(χ)的导函数f′(χ)当χ→a时是χ-a的n-1阶无穷小.
admin
2019-08-12
75
问题
设f(χ)在χ=a处n(n≥2)阶可导,且χ→a时f(χ)是χ-a的n阶无穷小,求证:f(χ)的导函数f′(χ)当χ→a时是χ-a的n-1阶无穷小.
选项
答案
由g(χ)=f′(χ)在χ=a处n-1阶可导[*] g(χ)=g(a)+g′(a)(χ-a)+…+[*]g
(n-1)
(a)(χ-a)
n-1
+o((χ-a)
n-1
), 即f′(χ)=f′(a)+f〞(a)(χ-a)+…+[*]f
(n)
(a)(χ-a)
n-1
+o((χ-a)
n-1
) =[*]f
(n)
(a)(χ-a)
n-1
+o((χ-a)
n-1
). 因此f′(χ)是χ-a的n-1阶无穷小(χ→a).
解析
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考研数学二
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