设f(χ)在χ＝a处n(n≥2)阶可导，且χ→a时f(χ)是χ－a的n阶无穷小，求证：f(χ)的导函数f′(χ)当χ→a时是χ－a的n－1阶无穷小．

admin2019-08-12 55

问题设f(χ)在χ＝a处n(n≥2)阶可导，且χ→a时f(χ)是χ－a的n阶无穷小，求证：f(χ)的导函数f′(χ)当χ→a时是χ－a的n－1阶无穷小．

选项

答案由g(χ)＝f′(χ)在χ＝a处n－1阶可导[*] g(χ)＝g(a)＋g′(a)(χ－a)＋…＋[*]g^(n-1)(a)(χ－a)^n-1＋o((χ－a)^n-1)，即f′(χ)＝f′(a)＋f〞(a)(χ－a)＋…＋[*]f⁽ⁿ⁾(a)(χ－a)^n-1＋o((χ－a)^n-1) ＝[*]f⁽ⁿ⁾(a)(χ－a)^n-1＋o((χ－a)^n-1)．因此f′(χ)是χ－a的n－1阶无穷小(χ→a)．

解析

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考研数学二

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