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  3. 已知A是2n+1阶正交矩阵，即AAT=ATA=E，证明：｜E—A2｜=0．

已知A是2n+1阶正交矩阵，即AAT=ATA=E，证明：｜E—A2｜=0．

admin2016-10-26  48
问题 已知A是2n+1阶正交矩阵，即AAT=ATA=E，证明：｜E—A2｜=0．
选项
答案由行列式乘法公式(1．10)，得｜A｜2=｜A｜.｜AT｜=｜AAT｜=｜E｜=1． (Ⅰ)如｜A｜=1，那么 ｜E—A｜=｜AAT—A｜=｜A(AT—ET)｜=｜A｜.｜A一E｜=｜－(E一A)｜ =(一1)2n+1｜E一A ｜=－｜E一A｜， 从而｜E—A ｜=0． (Ⅱ)如｜A｜=一1，那么可由 ｜E+A｜=｜AAT+A｜=｜A(AT+ET)｜=｜A｜.｜A+E｜=－｜E+A｜， 得到｜E+A｜=0．又因｜E一A2｜=｜(E—A)(E+A)｜=｜E一A｜.｜ E+A｜， 所以不论｜A｜是+1或－1，总有｜E一A2｜=0．
解析
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考研数学一

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