已知A是2n+1阶正交矩阵，即AAT=ATA=E，证明：｜E—A2｜=0．

admin2016-10-26 52

问题已知A是2n+1阶正交矩阵，即AA^T=A^TA=E，证明：｜E—A²｜=0．

选项

答案由行列式乘法公式(1．10)，得｜A｜²=｜A｜.｜A^T｜=｜AA^T｜=｜E｜=1． (Ⅰ)如｜A｜=1，那么｜E—A｜=｜AA^T—A｜=｜A(A^T—E^T)｜=｜A｜.｜A一E｜=｜－(E一A)｜ =(一1)²ⁿ⁺¹｜E一A ｜=－｜E一A｜，从而｜E—A ｜=0． (Ⅱ)如｜A｜=一1，那么可由｜E+A｜=｜AA^T+A｜=｜A(A^T+E^T)｜=｜A｜.｜A+E｜=－｜E+A｜，得到｜E+A｜=0．又因｜E一A²｜=｜(E—A)(E+A)｜=｜E一A｜.｜ E+A｜，所以不论｜A｜是+1或－1，总有｜E一A²｜=0．

解析

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考研数学一

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设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B．求AB-1．
设3阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则丨4A-1-E丨=_________.
假设：(1)函数y＝f(x)(0≤x＜+∞)满足条件f(0)＝0和0≤f(x)≤ex－1；(2)平行于y轴的动直线MN与曲线y＝f(x)和y＝ex－1分别相交于点P1和P2；(3)曲线y＝f(x)、直线MN与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的
求函数y＝cos4x-sin4x的周期．
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(1998年试题，一)设平面区域D由曲线及直线y=0，x=1，x=e2所围成，二维随机变量(X，Y)在区域D上服从均匀分布，则(X，Y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值为___________.

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