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  3. 设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，则下列矩阵中不一定能通过正交变换化成对角阵的是( )

设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，则下列矩阵中不一定能通过正交变换化成对角阵的是( )

admin2019-02-18  37
问题 设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，则下列矩阵中不一定能通过正交变换化成对角阵的是(    )
选项 A、Q=AB-BA．
B、P=ATB(B-BT)A．
C、R=BAB．
D、W=BA-2AB．
答案D
解析 因(BA-2AB)T=(BA)T-2(AB)T=ATBT-2BTAT=-AB+2BA，它不是对称矩阵，故它不一定能化成对角矩阵，当然就不一定能用正交变换化为对角矩阵．故选D．
    只有实对称矩阵才可以用正交矩阵进行相似对角化．
    对于选项A，
QT=(AB-BA)T=(AB)T-(BA)T=BTAT-ATBT=AB-BA=Q，
Q为实对称矩阵，可用正交变换进行相似对角化，故排除A．
    同理，对于选项B，
P=ATB(B-BT)A=2ATB2A，PT=(2ATB2A)T=2AT(B2)TA=2AT(BT)2A=2ATB2A=P，
P为实对称矩阵，故排除B．
选项C，
RT=(BAB)T=BTATBT=-BA(-B)=BAB=R，
R为实对称矩阵，故排除C．
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考研数学一

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