设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，则下列矩阵中不一定能通过正交变换化成对角阵的是( )

admin2019-02-18 23

问题设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，则下列矩阵中不一定能通过正交变换化成对角阵的是( )

选项 A、Q=AB-BA．
B、P=A^TB(B-B^T)A．
C、R=BAB．
D、W=BA-2AB．

答案D

解析因(BA-2AB)^T=(BA)^T-2(AB)^T=A^TB^T-2B^TA^T=-AB+2BA，它不是对称矩阵，故它不一定能化成对角矩阵，当然就不一定能用正交变换化为对角矩阵．故选D．
只有实对称矩阵才可以用正交矩阵进行相似对角化．
对于选项A，
Q^T=(AB-BA)^T=(AB)^T-(BA)^T=B^TA^T-A^TB^T=AB-BA=Q，
Q为实对称矩阵，可用正交变换进行相似对角化，故排除A．
同理，对于选项B，
P=A^TB(B-B^T)A=2A^TB²A，P^T=(2A^TB²A)^T=2A^T(B²)^TA=2A^T(B^T)²A=2A^TB²A=P，
P为实对称矩阵，故排除B．
选项C，
R^T=(BAB)^T=B^TA^TB^T=-BA(-B)=BAB=R，
R为实对称矩阵，故排除C．

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考研数学一

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设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，则下列矩阵中不一定能通过正交变换化成对角阵的是( )

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