设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)= (1)记X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(X)的

admin2017-04-19 39

问题设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，A_ij是A=(a_ij)_n×n中元素a_ij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x₁，x₂，…，x_n)=

(1)记X=(x₁，x₂，…，x_n)^T，把f(x₁，x₂，…，x_n)写成矩阵形式，并证明二次型f(X)的矩阵为A^-1；
(2)二次型g(X)=X^TAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由．

选项

答案(1)[*] 因秩(A)=n，故A可逆，且[*]从而(A^-1)^T=(A^T)^-1=A^-1，故A^-1也是实对称矩阵，因此二次型f(x)的矩阵为 [*] (2)因为(A^-1)^TAA^-1=(A^T)^-1E=A^-1，所以A与A^-1合同，

解析

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