设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明： (1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵； (2)当｜ε｜充分小时，A+εB仍是正定矩阵．

admin2019-05-11 37

问题设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明：
(1)存在可逆矩阵P，使得P^TAP，P^TBP都是对角矩阵；
(2)当｜ε｜充分小时，A+εB仍是正定矩阵．

选项

答案(1)因为A正定，所以存在实可逆矩阵P₁，使得P₁^TAP₁=E．作B₁=P₁^TBP₁，则B₁仍是实对称矩阵，从而存在正交矩阵Q，使得Q^TB₁Q是对角矩阵．令P=P₁Q，则 P^TAP=Q^TP₁^TAP₁Q=E，P^TBP=Q^TP₁^TBP₁Q=Q^TB₁Q．因此P即所求． (2)设对(1)中求得的可逆矩阵P，对角矩阵P^TBP对角线上的元素依次为λ₁，λ₃，…，λ_n，记 M=max{｜λ₁｜，｜λ₂｜，…，｜λ_n｜}．则当｜ε｜＜1／M时，E+εP^TBP仍是实对角矩阵，且对角线上元素1+ελ_i＞0，i=1，2，…，n．于是E+εP^TBP正定，P^T(A+εB)P=E+εP^TBP，因此A+εB也正定．

解析

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考研数学二

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设f(χ)在[a，b]上连续，且对任意的t∈[0，1]及任意的χ1，χ2∈[a，b]满足：f(tχ1＋(1－t)χ2)≤tf(χ1)＋(1－t)f(χ2)．证明：

设a1＝1，an+1＋＝0，证明：数列{an}收敛，并求．

讨论方程组的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中a，b为常数．

设A为实对称矩阵，且A的特征值都大于零．证明：A为正定矩阵．

设A为三阶矩阵，A的特征值为λ1＝1，λ2＝2，λ3＝3，其对应的线性无关的特征向量分别为，向量β＝，求Anβ．

设A＝，求A的特征值，并证明A不可以对角化．

设A为三阶矩阵，A的各行元素之和为4，则A有特征值_，对应的特征向量为_．

设n阶矩阵A＝(α1，α2，…，αn)的前n－1个列向量线性相关，后n－1个列向量线性无关，且α1＋2α2＋…＋(n－1)αn-1＝0，b＝α1＋α2＋…＋αn．(1)证明方程组AX＝b有无穷多个解；(2)求方程组AX＝b的通解．

设A＝(α1，α2，α3，α4，α5)，其中α1，α3，α5线性无关，且α2＝3α1－α3－α5，α4＝2α1＋α3＋6α5，求方程组AX＝0的通解．

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