设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y’+ky=f(x) 存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k为常数．

admin2017-10-23 118

问题设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程
y’+ky=f(x)
存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k为常数．

选项

答案由于此线性微分方程的通解可表示为y(x)=e^—kx[C+∫₀^xf(t)e^ktdt]，而为了使其以ω为周期，就应该对任何x满足恒等式 y(x+ω)=e^—kx—kω[C+∫₀^x+ωf(t)e^ktdt]=y(x)，即 C+∫₀^xf(t)e^ktdt=e^—kω[C+∫₀^x+ωf(t)e^ktdt]．上式可改写为 e^kω[C+∫₀^xf(t)e^ktdt]=C+∫₀^x+ωf(t)e^ktdt． (*) 又因 ∫₀^x+ωf(t)e^ktdt=∫₀^ωf(t)e^ktdt+∫_ω^x+ωf(t)e^ktdt，利用f(x)以ω为周期又可得 ∫_ω^x+ωf(t)e^ktdt[*]∫₀^xf(s+ω)e^k(s+ω)=e^kω∫₀^xf(s)e^ks=e^kω∫₀^xf(t)^ktdt，故(*)又可写成 e^kω[C+∫₀^xf(t)e^ktdt]=C+∫₀^ωf(t)e^ktdt+e^kω∫₀^xf(t)e^ktdt．即 e^kωC=C+∫₀^ωf(t)e^ktdt．若令C=[*]∫₀^ωf(t)e^ktdt，则此特解就是以ω为周期的函数，由于这样的常数只有一个，所以周期解也只有一个．

解析本题是求该方程满足某种要求的特解．为此，我们先求通解，然后用确定常数C的办法来得到具有周期性的那个特解．

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考研数学三

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设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y’+ky=f(x) 存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k为常数．

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设A为三阶矩阵，A的各行元素之和为4，则A有特征值，对应的特征向量为

求二元函数z=f(x，y)=x2y(4一x—y)在由x轴、y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值．

设随机变量X1，X2，X3，X4独立同分布，且Xi～的概率分布．

求极限

设一部机器一天内发生故障的概率为，机器发生故障时全天停止工作．若一周5个工作日无故障，则可获利10万元；发生一次故障获利5万元；发生两次故障获利0元；发生三次及以上的故障亏损2万元，求一周内利润的期望值．

二阶常系数非齐次线性微分方程y"一2y’一3y=(2x+1)e-x的特解形式为()．

设总体X～N(μ，σ12)，Y～N(μ，σ22)，且X，Y相互独立，来自总体X，Y的样本均值为期望．

设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f"(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫abφ(x)dx=1．证明：∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．

设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足xf’(x)=f(x)+(a为常数)，又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积为2．求函数y=f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．

假设随机变量X在区间[一1，1]上均匀分布，则U=arcsinX和V=arccosX的相关系数等于()

[*]

下列颈动脉硬化性闭塞症的好发部位是()。

湿陷性黄土的自重湿陷系数是指单位厚度的环刀试样，在上覆土的()压力下，下沉稳后，试样浸入饱和所产生的附加下沉。

基础的偏心距e与下列(　　)项值接近。e=0.85时的基底压力最大值与下列(　　)项值接近。

根据()和实际使用情况，合理安排好每种计量器具的检定周期。

下列有关生活常识的说法中，正确的是：

Justoveradecadeintothe21stcentury,women’sprogresscanbecelebratedacrossarangeoffields.Theyholdthehighestpol

实践作为检验真理性的标准，既是确定的，又是不确定的。实践标准的不确定性是指

Womenheldahighplaceinthe10thand11thcenturiesinsouthern

Whydidtheboysgooutfortheirholidayinatruck?WhatdidtheboysWanttodothenextday?

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设随机变量X1，X2，X3，X4独立同分布，且Xi～的概率分布．

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二阶常系数非齐次线性微分方程y"一2y’一3y=(2x+1)e-x的特解形式为()．

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设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f"(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫abφ(x)dx=1．证明：∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．

设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足xf’(x)=f(x)+(a为常数)，又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积为2．求函数y=f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．

假设随机变量X在区间[一1，1]上均匀分布，则U=arcsinX和V=arccosX的相关系数等于()

[*]

下列颈动脉硬化性闭塞症的好发部位是()。

湿陷性黄土的自重湿陷系数是指单位厚度的环刀试样，在上覆土的()压力下，下沉稳后，试样浸入饱和所产生的附加下沉。

基础的偏心距e与下列( )项值接近。e=0.85时的基底压力最大值与下列( )项值接近。

根据()和实际使用情况，合理安排好每种计量器具的检定周期。

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Justoveradecadeintothe21stcentury,women’sprogresscanbecelebratedacrossarangeoffields.Theyholdthehighestpol

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基础的偏心距e与下列(　　)项值接近。e=0.85时的基底压力最大值与下列(　　)项值接近。