设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y’+ky=f(x) 存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k为常数．

admin2017-10-23 84

问题设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程
y’+ky=f(x)
存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k为常数．

选项

答案由于此线性微分方程的通解可表示为y(x)=e^—kx[C+∫₀^xf(t)e^ktdt]，而为了使其以ω为周期，就应该对任何x满足恒等式 y(x+ω)=e^—kx—kω[C+∫₀^x+ωf(t)e^ktdt]=y(x)，即 C+∫₀^xf(t)e^ktdt=e^—kω[C+∫₀^x+ωf(t)e^ktdt]．上式可改写为 e^kω[C+∫₀^xf(t)e^ktdt]=C+∫₀^x+ωf(t)e^ktdt． (*) 又因 ∫₀^x+ωf(t)e^ktdt=∫₀^ωf(t)e^ktdt+∫_ω^x+ωf(t)e^ktdt，利用f(x)以ω为周期又可得 ∫_ω^x+ωf(t)e^ktdt[*]∫₀^xf(s+ω)e^k(s+ω)=e^kω∫₀^xf(s)e^ks=e^kω∫₀^xf(t)^ktdt，故(*)又可写成 e^kω[C+∫₀^xf(t)e^ktdt]=C+∫₀^ωf(t)e^ktdt+e^kω∫₀^xf(t)e^ktdt．即 e^kωC=C+∫₀^ωf(t)e^ktdt．若令C=[*]∫₀^ωf(t)e^ktdt，则此特解就是以ω为周期的函数，由于这样的常数只有一个，所以周期解也只有一个．

解析本题是求该方程满足某种要求的特解．为此，我们先求通解，然后用确定常数C的办法来得到具有周期性的那个特解．

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/zEX4777K

考研数学三

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y’+ky=f(x) 存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k为常数．

考研数学三

设连续函数f(x)满足f(x)=，则f(x)=________．

设随机变量X～U(0，1)，在X=x(0＜x＜1)下，Y～U(0，x)．(1)求X，Y的联合密度函数；(2)求Y的边缘密度函数．

设k＞0，则函数f(c)=lnx一+k的零点个数为()．

设总体X的概率分布为是未知参数．用样本值3，1，3，0，3，1，2，3求θ的矩估计值和最大似然估计值．

防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图1．2—1)，截面的面积为5平方米，问底宽x为多少时才能使建造时所用的材料最省?

设f(x)在[a，b]上存在二阶导数．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使∫abf(t)dt=(b一a)3；

已知某种商品的需求量z对价格p的弹性为η=-2p2，而市场对该商品的最大需求量为1(万件)，若价格服从[1，2]上的均匀分布，计算期望收益值．

f(x)＝sint2dt，当x→0时，f(x)是x的n阶无穷小，则n＝_________．

设f(x)有连续导数，f(0)=0，f’(0)≠0，且当x→0时，F’(x)与xk是同阶无穷小，则k等于

设f(t)连续并满足f(t)=cos2t+f(s)sinsds，求f(t)．

下列关于客户投资渠道偏好的说法，正确的是()。

患者，男，59岁。患前列腺增生症两年，现尿频黄赤，尿道灼热涩痛，排尿不畅，伴小腹胀满，口苦口黏，舌红，苔黄腻，脉滑数。前列腺增生症的中医基本治疗法则是

德国施耐德公司与中国安科公司签订一项技术的许可使用合同，授权安科公司在英国使用施耐德公司在英国获批的某项专利。后施耐德公司因相关纠纷诉诸中国法院。关于该案的法律适用，下列哪些选项是正确的?()

年度投资规模与在建投资总规模的区别包括()。

已知甲公司年末负债总额为200万元，资产总额为500万元，无形资产净值为50万元，流动资产为240万元，流动负债为160万元，年利息费用为20万元，净利润为100万元，所得税费用为30万元，则()。

龙马负图、神龟载书，远古时代河图洛书的传说，数千年来被认为是中华传统文化的源头。河图出于河南洛阳市的孟津县，人们对它已是_，而洛书出于何处，一直_，没有定论。依次填入划横线部分最恰当的一项是：

近代沙俄侵占了中国北方和西北方哪些领土？其重大危害是什么？

Whydidthecompanyputthetwosingerstogetherasagroup?

•Lookatthestatementsbelowandtheinformationaboutcardsontheoppositepage.•Whichcard(A,B,CorD)doeseachstate

Pub-talk,themostpopularactivityinallpubs,isanativedialectwithitsowndistinctivegrammar.Thereareveryfewrestr

设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y’+ky=f(x) 存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k为常数．

考研数学三

设连续函数f(x)满足f(x)=，则f(x)=________．

设随机变量X～U(0，1)，在X=x(0＜x＜1)下，Y～U(0，x)．(1)求X，Y的联合密度函数；(2)求Y的边缘密度函数．

设k＞0，则函数f(c)=lnx一+k的零点个数为()．

设总体X的概率分布为是未知参数．用样本值3，1，3，0，3，1，2，3求θ的矩估计值和最大似然估计值．

防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图1．2—1)，截面的面积为5平方米，问底宽x为多少时才能使建造时所用的材料最省?

设f(x)在[a，b]上存在二阶导数．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使∫abf(t)dt=(b一a)3；

已知某种商品的需求量z对价格p的弹性为η=-2p2，而市场对该商品的最大需求量为1(万件)，若价格服从[1，2]上的均匀分布，计算期望收益值．

f(x)＝sint2dt，当x→0时，f(x)是x的n阶无穷小，则n＝_________．

设f(x)有连续导数，f(0)=0，f’(0)≠0，且当x→0时，F’(x)与xk是同阶无穷小，则k等于

设f(t)连续并满足f(t)=cos2t+f(s)sinsds，求f(t)．

下列关于客户投资渠道偏好的说法，正确的是()。

患者，男，59岁。患前列腺增生症两年，现尿频黄赤，尿道灼热涩痛，排尿不畅，伴小腹胀满，口苦口黏，舌红，苔黄腻，脉滑数。前列腺增生症的中医基本治疗法则是

德国施耐德公司与中国安科公司签订一项技术的许可使用合同，授权安科公司在英国使用施耐德公司在英国获批的某项专利。后施耐德公司因相关纠纷诉诸中国法院。关于该案的法律适用，下列哪些选项是正确的?()

年度投资规模与在建投资总规模的区别包括()。

已知甲公司年末负债总额为200万元，资产总额为500万元，无形资产净值为50万元，流动资产为240万元，流动负债为160万元，年利息费用为20万元，净利润为100万元，所得税费用为30万元，则()。

龙马负图、神龟载书，远古时代河图洛书的传说，数千年来被认为是中华传统文化的源头。河图出于河南洛阳市的孟津县，人们对它已是_______，而洛书出于何处，一直_______，没有定论。依次填入划横线部分最恰当的一项是：

近代沙俄侵占了中国北方和西北方哪些领土？其重大危害是什么？

Whydidthecompanyputthetwosingerstogetherasagroup?

•Lookatthestatementsbelowandtheinformationaboutcardsontheoppositepage.•Whichcard(A,B,CorD)doeseachstate

Pub-talk,themostpopularactivityinallpubs,isanativedialectwithitsowndistinctivegrammar.Thereareveryfewrestr

龙马负图、神龟载书，远古时代河图洛书的传说，数千年来被认为是中华传统文化的源头。河图出于河南洛阳市的孟津县，人们对它已是_，而洛书出于何处，一直_，没有定论。依次填入划横线部分最恰当的一项是：