设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y’+ky=f(x) 存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k为常数．

admin2017-10-23 72

问题设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程
y’+ky=f(x)
存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k为常数．

选项

答案由于此线性微分方程的通解可表示为y(x)=e^—kx[C+∫₀^xf(t)e^ktdt]，而为了使其以ω为周期，就应该对任何x满足恒等式 y(x+ω)=e^—kx—kω[C+∫₀^x+ωf(t)e^ktdt]=y(x)，即 C+∫₀^xf(t)e^ktdt=e^—kω[C+∫₀^x+ωf(t)e^ktdt]．上式可改写为 e^kω[C+∫₀^xf(t)e^ktdt]=C+∫₀^x+ωf(t)e^ktdt． (*) 又因 ∫₀^x+ωf(t)e^ktdt=∫₀^ωf(t)e^ktdt+∫_ω^x+ωf(t)e^ktdt，利用f(x)以ω为周期又可得 ∫_ω^x+ωf(t)e^ktdt[*]∫₀^xf(s+ω)e^k(s+ω)=e^kω∫₀^xf(s)e^ks=e^kω∫₀^xf(t)^ktdt，故(*)又可写成 e^kω[C+∫₀^xf(t)e^ktdt]=C+∫₀^ωf(t)e^ktdt+e^kω∫₀^xf(t)e^ktdt．即 e^kωC=C+∫₀^ωf(t)e^ktdt．若令C=[*]∫₀^ωf(t)e^ktdt，则此特解就是以ω为周期的函数，由于这样的常数只有一个，所以周期解也只有一个．

解析本题是求该方程满足某种要求的特解．为此，我们先求通解，然后用确定常数C的办法来得到具有周期性的那个特解．

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考研数学三

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设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y’+ky=f(x) 存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k为常数．

考研数学三

已知二元函数f(x，y)满足=u2+v2，求a，b．

设A为n阶矩阵且r(A)=n一1．证明：存在常数k，使得(A)2=hA．

设f(x)在x=0处连续，且=一1，则曲线y=f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________．

设A为三阶实对称矩阵，α1=(a，一a，1)T是方程组AX=0的解，α=(a，1，1一a)T是方程组(A+E)X=0的解，则a=________．

设f(x)=3x2+Ax-3(x＞0)，A为正常数，问A至少为多少时，f(x)≥20?

设函数其中g(x)二阶连续可导，且g(0)=1．(1)确定常数a，使得f(x)在x=0处连续；(2)求f’(x)；(3)讨论f’(x)在x=0处的连续性．

设A为三阶方阵，A的每行元素之和为5，AX=0的通解为，求Aβ．

微分方程y’一xe-y+=0的通解为________．

设当x→0时，etanx一ex与xn是同阶无穷小，则n为()

从6双不同的手套中任取4只，求(1)恰有一双配对的概率；(2)至少有2只可配成一双的概率。

Togetthejobstarted,______Ineedisyourpermission.

完带汤主治证候所涉及的脏腑是

简述量刑情节。

甲有四匹马要卖掉，便对乙方说：“你先牵回去试用一个月，满意的话你就买下，价款5000元。”乙牵回了四匹马，未付款。根据民法原理，请回答下列问题：

根据我国《宪法》和法律的规定，下列选项中某市市长的哪些意见是错误的?

山东省人大常委会制定的地方性法规中，对下列事项进行了规定，不符合《行政许可法》的规定的有()。

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设f(x)=3x2+Ax-3(x＞0)，A为正常数，问A至少为多少时，f(x)≥20?

设函数其中g(x)二阶连续可导，且g(0)=1．(1)确定常数a，使得f(x)在x=0处连续；(2)求f’(x)；(3)讨论f’(x)在x=0处的连续性．

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设当x→0时，etanx一ex与xn是同阶无穷小，则n为()

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