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设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y’+ky=f(x) 存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k为常数．
设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y’+ky=f(x) 存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k为常数．
admin
2017-10-23
104
问题
设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程
y’+ky=f(x)
存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k为常数．
选项
答案
由于此线性微分方程的通解可表示为y(x)=e
—kx
[C+∫
0
x
f(t)e
kt
dt]，而为了使其以ω为周期，就应该对任何x满足恒等式 y(x+ω)=e
—kx—kω
[C+∫
0
x+ω
f(t)e
kt
dt]=y(x)， 即 C+∫
0
x
f(t)e
kt
dt=e
—kω
[C+∫
0
x+ω
f(t)e
kt
dt]． 上式可改写为 e
kω
[C+∫
0
x
f(t)e
kt
dt]=C+∫
0
x+ω
f(t)e
kt
dt． (*) 又因 ∫
0
x+ω
f(t)e
kt
dt=∫
0
ω
f(t)e
kt
dt+∫
ω
x+ω
f(t)e
kt
dt，利用f(x)以ω为周期又可得 ∫
ω
x+ω
f(t)e
kt
dt[*]∫
0
x
f(s+ω)e
k(s+ω)
=e
kω
∫
0
x
f(s)e
ks
=e
kω
∫
0
x
f(t)
kt
dt， 故(*)又可写成 e
kω
[C+∫
0
x
f(t)e
kt
dt]=C+∫
0
ω
f(t)e
kt
dt+e
kω
∫
0
x
f(t)e
kt
dt． 即 e
kω
C=C+∫
0
ω
f(t)e
kt
dt． 若令C=[*]∫
0
ω
f(t)e
kt
dt，则此特解就是以ω为周期的函数，由于这样的常数只有一个，所以周期解也只有一个．
解析
本题是求该方程满足某种要求的特解．为此，我们先求通解，然后用确定常数C的办法来得到具有周期性的那个特解．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/zEX4777K
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考研数学三
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