首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y’+ky=f(x) 存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k为常数．
设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y’+ky=f(x) 存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k为常数．
admin
2017-10-23
77
问题
设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程
y’+ky=f(x)
存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k为常数．
选项
答案
由于此线性微分方程的通解可表示为y(x)=e
—kx
[C+∫
0
x
f(t)e
kt
dt]，而为了使其以ω为周期，就应该对任何x满足恒等式 y(x+ω)=e
—kx—kω
[C+∫
0
x+ω
f(t)e
kt
dt]=y(x)， 即 C+∫
0
x
f(t)e
kt
dt=e
—kω
[C+∫
0
x+ω
f(t)e
kt
dt]． 上式可改写为 e
kω
[C+∫
0
x
f(t)e
kt
dt]=C+∫
0
x+ω
f(t)e
kt
dt． (*) 又因 ∫
0
x+ω
f(t)e
kt
dt=∫
0
ω
f(t)e
kt
dt+∫
ω
x+ω
f(t)e
kt
dt，利用f(x)以ω为周期又可得 ∫
ω
x+ω
f(t)e
kt
dt[*]∫
0
x
f(s+ω)e
k(s+ω)
=e
kω
∫
0
x
f(s)e
ks
=e
kω
∫
0
x
f(t)
kt
dt， 故(*)又可写成 e
kω
[C+∫
0
x
f(t)e
kt
dt]=C+∫
0
ω
f(t)e
kt
dt+e
kω
∫
0
x
f(t)e
kt
dt． 即 e
kω
C=C+∫
0
ω
f(t)e
kt
dt． 若令C=[*]∫
0
ω
f(t)e
kt
dt，则此特解就是以ω为周期的函数，由于这样的常数只有一个，所以周期解也只有一个．
解析
本题是求该方程满足某种要求的特解．为此，我们先求通解，然后用确定常数C的办法来得到具有周期性的那个特解．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/zEX4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
求微分方程y2dx+(2xy+y2)dy=0的通解．
设A是n阶矩阵，λ是A的特征值，其对应的特征向量为X，证明：λ2是A2的特征值，X为特征向量．若A2有特征值λ，其对应的特征向量为X，X是否一定为A的特征向量?说明理由．
设f(x)在[0，1]上连续，且0＜m≤f(x)≤M．对任意的x∈[-0．1]．证明：
设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p=________时，成功次数的标准差最大，其最大值为______．
设f(x)在x=0处连续，且=一1，则曲线y=f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________．
设A为三阶方阵，A的每行元素之和为5，AX=0的通解为，求Aβ．
设级数条件收敛，则p的取值范围是________．
设总体X～N(0，1)，(X1，X2，…，Xm，Xm+1，…，Xm+n)为来自总体X的简单随机样本，求统计量所服从的分布．
设X～N(1，σ2)，Y～N(2，σ2)为两个相互独立的总体，X1，X2，…，Xm与Y1，Y2，…，Yn分别为来自两个总体的简单样本，服从________分布．
某公司通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R(万元)与电台广告费用x1(万元)及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式：R=15+14x1+32x2—8x1x2—2x12一10x22(1)在广告费用不限的情况下，求
随机试题
下列各项中，影响营业周期长短的因素有()。
第一眼位时有内旋作用，且有内转作用的眼外肌为第一眼位时有外旋作用，且有外转作用的眼外肌为
关于淋病，哪项正确
若腹大坚满，脘腹绷急，外坚内胀，拒按，烦热口苦，渴不欲饮，腹部胀急殊甚，大便干结，可行气逐水，宜选用
A、0.3mgB、0.95～1.05C、1.5D、6E、10色谱峰拖尾因子为（ ）。
A．橄榄B．赤参C．潼蒺藜D．千张纸E．恶实沙苑子的别名是()。
我国刑法中规定的限制行为能力人是：()
期货公司允许客户开仓透支交易的，对透支交易造成的损失，()。[2010年6月真题]
甲、乙双方约定，由丙每月代乙向甲偿还债务500元，期限2年；丙履行5个月后，以自己并不对甲负有债务为由拒绝继续履行。根据合同法律制度的规定，甲有权要求()。
JackhisJoblastweek.Itwasdifficultforhimtofindanother【C1】________.【C2】________toldhimthatitwaspossibleto
最新回复
(
0
)
