设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y’+ky=f(x) 存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k为常数．

admin2017-10-23 105

问题设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程
y’+ky=f(x)
存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k为常数．

选项

答案由于此线性微分方程的通解可表示为y(x)=e^—kx[C+∫₀^xf(t)e^ktdt]，而为了使其以ω为周期，就应该对任何x满足恒等式 y(x+ω)=e^—kx—kω[C+∫₀^x+ωf(t)e^ktdt]=y(x)，即 C+∫₀^xf(t)e^ktdt=e^—kω[C+∫₀^x+ωf(t)e^ktdt]．上式可改写为 e^kω[C+∫₀^xf(t)e^ktdt]=C+∫₀^x+ωf(t)e^ktdt． (*) 又因 ∫₀^x+ωf(t)e^ktdt=∫₀^ωf(t)e^ktdt+∫_ω^x+ωf(t)e^ktdt，利用f(x)以ω为周期又可得 ∫_ω^x+ωf(t)e^ktdt[*]∫₀^xf(s+ω)e^k(s+ω)=e^kω∫₀^xf(s)e^ks=e^kω∫₀^xf(t)^ktdt，故(*)又可写成 e^kω[C+∫₀^xf(t)e^ktdt]=C+∫₀^ωf(t)e^ktdt+e^kω∫₀^xf(t)e^ktdt．即 e^kωC=C+∫₀^ωf(t)e^ktdt．若令C=[*]∫₀^ωf(t)e^ktdt，则此特解就是以ω为周期的函数，由于这样的常数只有一个，所以周期解也只有一个．

解析本题是求该方程满足某种要求的特解．为此，我们先求通解，然后用确定常数C的办法来得到具有周期性的那个特解．

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考研数学三

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