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  3. 交换累次积分的积分顺序： I=∫01dx∫01—xdy∫0x+yf(x，y，z)dz，改换成先x最后y的顺序．

交换累次积分的积分顺序： I=∫01dx∫01—xdy∫0x+yf(x，y，z)dz，改换成先x最后y的顺序．

admin2019-02-26  39
问题 交换累次积分的积分顺序：
    I=∫01dx∫01—xdy∫0x+yf(x，y，z)dz，改换成先x最后y的顺序．
选项
答案据以上分析，把该累次积分看成是三重积分按先一(z)后二的顺序化成的，则 I=[*]dxdy∫0x+yf(x，y，z)dz， 其中Dxy={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1一x}，如图9．46．交换x与y的顺序得 I=∫01dy∫01—ydx∫0x+yf(x，y，z)dz． 再把它看成三重积分按先二后一(y)的顺序化成的，则 I=∫01dy[*]f((x，y，z)dzdx， 其中Dzx={(z，x)｜0≤x≤1一y，0≤z≤x+y}，如图9．47．(对z、x积分时y是参数，z、x变动时y是不变的)，交换z与z的积分顺序(先对x积分要分块积分)得 I=∫01dy∫0ydz∫01—yf(x，y，z)dx+∫01dy∫y1dz∫z—y1—yf(x，y，z)dx． [*]
解析 这是对已化成累次积分的三重积分f(x，y，z)dV交换积分顺序的问题．这时可不必画出Ω的图形(一般也很难画)，只要把它看成是一次定积分加一次二重积分化成的，对其中的二重积分交换积分顺序，因而有时需分两步走，其中的每一步均是二重积分交换积分顺序问题．如本题：第一步，交换x与y的次序；第二步，交换x与z的次序，就会得到以x，z，y的顺序的累次积分．这种顺序交换可如同二重积分一样进行，关键步骤是画出二重积分区域的图形．有了图形，积分限就容易写出了．
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考研数学一

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