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交换累次积分的积分顺序: I=∫01dx∫01—xdy∫0x+yf(x,y,z)dz,改换成先x最后y的顺序.
交换累次积分的积分顺序: I=∫01dx∫01—xdy∫0x+yf(x,y,z)dz,改换成先x最后y的顺序.
admin
2019-02-26
51
问题
交换累次积分的积分顺序:
I=∫
0
1
dx∫
0
1—x
dy∫
0
x+y
f(x,y,z)dz,改换成先x最后y的顺序.
选项
答案
据以上分析,把该累次积分看成是三重积分按先一(z)后二的顺序化成的,则 I=[*]dxdy∫
0
x+y
f(x,y,z)dz, 其中D
xy
={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1一x},如图9.46.交换x与y的顺序得 I=∫
0
1
dy∫
0
1—y
dx∫
0
x+y
f(x,y,z)dz. 再把它看成三重积分按先二后一(y)的顺序化成的,则 I=∫
0
1
dy[*]f((x,y,z)dzdx, 其中D
zx
={(z,x)|0≤x≤1一y,0≤z≤x+y},如图9.47.(对z、x积分时y是参数,z、x变动时y是不变的),交换z与z的积分顺序(先对x积分要分块积分)得 I=∫
0
1
dy∫
0
y
dz∫
0
1—y
f(x,y,z)dx+∫
0
1
dy∫
y
1
dz∫
z—y
1—y
f(x,y,z)dx. [*]
解析
这是对已化成累次积分的三重积分
f(x,y,z)dV交换积分顺序的问题.这时可不必画出Ω的图形(一般也很难画),只要把它看成是一次定积分加一次二重积分化成的,对其中的二重积分交换积分顺序,因而有时需分两步走,其中的每一步均是二重积分交换积分顺序问题.如本题:第一步,交换x与y的次序;第二步,交换x与z的次序,就会得到以x,z,y的顺序的累次积分.这种顺序交换可如同二重积分一样进行,关键步骤是画出二重积分区域的图形.有了图形,积分限就容易写出了.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/zF04777K
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考研数学一
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