设A为n阶可逆矩阵，若A与B相似，则命题 ①AB与BA相似； ②A2与B2相似； ③A﹣1与B﹣1相似； ④AT与BT 相似中，正确的有( )个．

admin2020-06-05 37

问题设A为n阶可逆矩阵，若A与B相似，则命题
①AB与BA相似；
②A²与B²相似；
③A^﹣1与B^﹣1相似；
④A^T与B^T
相似中，正确的有( )个．

选项 A、4
B、3
C、2
D、1

答案A

解析注意到A为n阶可逆矩阵，于是A^﹣1(AB)A＝BA，故①正确．又因为A与B相似，则存在可逆矩阵P，使得P^﹣1AP＝B，进而B²＝(P^﹣1AP)(P^﹣1AP)＝P^﹣1A²P，B^﹣1＝(P^﹣1AP)^﹣1＝P^﹣1A^﹣1P，B^T＝(P^﹣1AP)^T＝P^TA^T(P^﹣1)^T＝P^TA^T(P^T)^﹣1，根据定义可知②，③，④都是正确的．

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