二次型f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)经过正交变换化为标准形f=y12+2y22+5y32，求参数a及所用的正交变换。

admin2018-01-26 48

问题二次型f(x₁，x₂，x₃)=2x₁²+3x₂²+3x₃²+2ax₂x₃(a＞0)经过正交变换化为标准形f=y₁²+2y₂²+5y₃²，求参数a及所用的正交变换。

选项

答案二次型f的矩阵A=[*] 根据题意可知，矩阵A的三个特征值分别为λ₁=1，λ₂=2，λ₃=5，于是由｜A｜=λ₁λ₂λ₃可得2(9-a²)=10，解得a=2或-2(舍)。当λ₁=1时，解齐次线性方程组(E-A)x=0，得基础解系为ξ₁=(0，1，-1)^T；当λ₂=2时，解齐次线性方程组(2E-A)x=0，得基础解系为ξ₂=(1，0，0)^T；当λ₃=5时，解齐次线性方程组(5E-A)x=0，得基础解系为ξ₃=(0，1，1)^T。因为ξ₁，ξ₂，ξ₃已经是正交向量组，故只需将ξ₁，ξ₂，ξ₃单位化，于是得 η₁=[*]，η₂=(1，0，0)^T，η₃=[*] 令 Q=(η₁，η₂，η₃)=[*] 则Q为正交矩阵，且在正交变换x=Qy下，有Q^TAQ=[*]

解析

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考研数学一

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二次型f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)经过正交变换化为标准形f=y12+2y22+5y32，求参数a及所用的正交变换。

考研数学一

已知，求a，b的值．

假设有四张同样的卡片，其中三张上分别只印有a1，a2，a3，而另一张上同时印有α1,α2,α3．现在随意抽取一张卡片，令Ak={卡片上印有ak)。证明：事件A1，A2，A3两两独立但不相互独立．

已知A是m×n矩阵，m＜n．证明：AAT是对称阵，并且AAT正定的充要条件是r(A)=m．

设A是三阶矩阵，λ1=1，λ2=2，λ3=3是A的特征值，对应的特征向量分别是ξ1=[2，2，一1]T，ξ2=[一1，2，2]T，ξ3=[2，一1，2]T．又β=[1，2，3]T，计算：(1)Anξ；(2)Anβ．

设向量α=[a1,a2……an]T，β=[b1,b2……bn]T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT，求：A能否相似于对角阵，说明理由．

设A=E+αβT，其中α=[a1,a2……an]T≠0，β=[b1,b2……bn]T=0，且αTβ=2．求可逆矩阵P，使得P-1AP=A．

设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为1的指数分布，则随机变量的概率密度为__________．

曲线y=的斜渐近线方程为_________．

设二次型f(x1，x2，…，xn)＝(nx1)2＋(nx2)2＋…＋(nxn)2－(x1＋x2＋…＋xn)2(n＞1)，则f的秩是＿＿＿＿＿＿＿＿。

已知正负惯性指数均为1的二次型xTAx经过合同变换x=Py化为yTBy，其中矩阵B=，则a=_______．

A、地尔硫B、洋地黄C、阿托品D、利多卡因E、胺碘酮治疗急性前壁心肌梗死并发心室纤颤最好选用

一患者因左上尖牙残根需拔除，在进行了鼻腭神经及上牙槽前神经的有效麻醉后。分离腭侧牙龈时患者仍有痛感。这是因为

财政部门有权对社会监督进行再监督。()

目前，对证券投资基金的限制主要包括对基金投资范围的限制、投资比例的限制等方面。(　　)

古之学者必有师。师者，___________。(韩愈《师说》)

从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。

甲、乙两人从相距1800米的两地同时出发，相向而行。甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，则两人第三次相遇时，甲距其出发点()

当信息系统交付使用后，若要增加一些新的业务功能，则需要对系统进行(49)。

Afterits(1)tothe(2)in2001,Chinahastakenstepstowardsopeningupits(3).AsaconditionforjoiningtheWTO,China(

二次型f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)经过正交变换化为标准形f=y12+2y22+5y32，求参数a及所用的正交变换。

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已知，求a，b的值．

假设有四张同样的卡片，其中三张上分别只印有a1，a2，a3，而另一张上同时印有α1,α2,α3．现在随意抽取一张卡片，令Ak={卡片上印有ak)。证明：事件A1，A2，A3两两独立但不相互独立．

已知A是m×n矩阵，m＜n．证明：AAT是对称阵，并且AAT正定的充要条件是r(A)=m．

设A是三阶矩阵，λ1=1，λ2=2，λ3=3是A的特征值，对应的特征向量分别是ξ1=[2，2，一1]T，ξ2=[一1，2，2]T，ξ3=[2，一1，2]T．又β=[1，2，3]T，计算：(1)Anξ；(2)Anβ．

设向量α=[a1,a2……an]T，β=[b1,b2……bn]T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT，求：A能否相似于对角阵，说明理由．

设A=E+αβT，其中α=[a1,a2……an]T≠0，β=[b1,b2……bn]T=0，且αTβ=2．求可逆矩阵P，使得P-1AP=A．

设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为1的指数分布，则随机变量的概率密度为__________．

曲线y=的斜渐近线方程为_________．

设二次型f(x1，x2，…，xn)＝(nx1)2＋(nx2)2＋…＋(nxn)2－(x1＋x2＋…＋xn)2(n＞1)，则f的秩是＿＿＿＿＿＿＿＿。

已知正负惯性指数均为1的二次型xTAx经过合同变换x=Py化为yTBy，其中矩阵B=，则a=_______．

A、地尔硫B、洋地黄C、阿托品D、利多卡因E、胺碘酮治疗急性前壁心肌梗死并发心室纤颤最好选用

一患者因左上尖牙残根需拔除，在进行了鼻腭神经及上牙槽前神经的有效麻醉后。分离腭侧牙龈时患者仍有痛感。这是因为

财政部门有权对社会监督进行再监督。()

目前，对证券投资基金的限制主要包括对基金投资范围的限制、投资比例的限制等方面。( )

古之学者必有师。师者，___________。(韩愈《师说》)

从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。

甲、乙两人从相距1800米的两地同时出发，相向而行。甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，则两人第三次相遇时，甲距其出发点()

当信息系统交付使用后，若要增加一些新的业务功能，则需要对系统进行(49)。

Afterits(1)tothe(2)in2001,Chinahastakenstepstowardsopeningupits(3).AsaconditionforjoiningtheWTO,China(

目前，对证券投资基金的限制主要包括对基金投资范围的限制、投资比例的限制等方面。(　　)