2. 考研
  3. 设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3，证明：β，Aβ，A2β线性无关．

设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3，证明：β，Aβ，A2β线性无关．

admin2019-12-26  57
问题 设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3，证明：β，Aβ，A2β线性无关．
选项
答案因为Aαi=λiαi(i=1，2，3)，则 Aβ=A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3， A2β=A(Aβ)=A(λ1α1+λ1α2+λ3α3)=λ12α1+λ22α2+λ32α3． 设存在常数k1，k1，k3，使 k1β+k2Aβ+k3A2β=0， 进而得 (k1+k2λ1+k3λ12)α1+(k1+k2λ2+k3λ22)α2+(k1+k2λ3+k3λ32)α3=0． 由于α1，α2，α3线性无关，于是有 [*] 其系数行列式 [*] 故k1=k2=k3=0，所以，β，Aβ，A2β线性无关．
解析
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考研数学三

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