2. 考研
  3. 已知f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=1，f(0)=0，证明：在(0，1)内至少有一点ξ，使得eξ－1[f(ξ)+f′(ξ)]=1．

已知f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=1，f(0)=0，证明：在(0，1)内至少有一点ξ，使得eξ－1[f(ξ)+f′(ξ)]=1．

admin2020-05-02  44
问题 已知f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=1，f(0)=0，证明：在(0，1)内至少有一点ξ，使得eξ－1[f(ξ)+f′(ξ)]=1．
选项
答案方法一 令F(x)=exf(x)－ex，由于f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=1，f(0)=0，所以F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=F(1)=0．由罗尔定理知，在(0，1)内至少存在一点ξ，使得F′(ξ)=0，而F′(x)=exf(x)+f′(x)]－e，所以eξ(ξ)+f′(ξ)]－e=0，eξ－1[f(ξ)+f′(ξ)]=1． 方法二 令F(x)=exf(x)，由于f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=1，f(0)=0，所以F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，F(0)=0，F(1)=e．由拉格朗日中值定理知，在(0，1)内至少存在一点ξ，使得 [*] 由于F′(x)=ex[f(x)+f′(x)]，所以 [*] 即eξ－1[f(ξ)+f′(ξ)]=1，ξ∈(0．1)．
解析
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考研数学一

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