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  3. 设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)dx=0，∫0πf(x)cosxdx=0．试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．

设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)dx=0，∫0πf(x)cosxdx=0．试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．

admin2017-04-24  49
问题 设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)dx=0，∫0πf(x)cosxdx=0．试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．
选项
答案令F(x)=∫0xf(t)dt 0≤x≤π 则F(0)=0，F(π)=0，又因为 0=∫0πf(x)cosxdx=∫0πcosxdF(x)=F(x)cosx|0π+∫0πF(x) sinxdx =∫0πF(x)sinxdx 所以，存在ξ∈(0，π)，使F(ξ) sinξ=0，因若不然，则在(0，π)内或F(x)sinx恒为正，或F(x) sinx恒为负，均与∫0πF(x) sinxdx=0矛盾，但当ξ∈(0，π)时，sinξ≠0，故F(ξ)=0． 由以上证得 F(0)=F(ξ)=F(π)=0 (0＜ξ＜π) 再对F(x)在区间[0，ξ]，[ξ，π]上分别用罗尔中值定理，知至少存在ξ1(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)，使 F’(ξ1)=F’(ξ2)=0 即 f(ξ1) =f(ξ2)=0 证2 由∫0πf(x)dx=0知，存在ξ1∈(0，π)，使f(ξ1)=0，因若不然，则在(0，π)内或f(x)恒为正，或f(x)恒为负，均与∫0πf(x)dx=0 矛盾． 若在(0，π)内f(x)=0仅有一个实根x=ξ1，则由∫0πf(x)dx=0推知，f(x)在(0，ξ1)内与(ξ1，π)内异号，不妨设在(0，ξ1)内f(x)＞0，在(ξ1，π)内f(x)＜0．于是再由∫0πf(x)cosxdx=0与∫0πf(x)dx=0及cosx在 [0，π]上的单调性知： 0=f(x) (cosx一cosξ1)dx =[*]f(x) (cosx一cosξ1)dx+[*]f(x) (cosx一cosξ1)dx＞0 得出矛盾． 从而推知，在(0，π)内除ξ1外，f(x)=0至少还有另一实根ξ2，故知存在ξ1，ξ2∈(0，π)，ξ1≠ξ2，使f (ξ1)=f(ξ2)=0.
解析
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考研数学二

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