[2006年] 设数列{xn}满足0<x1<π,xn-1=sinxn(n=1,2,…).证明xn存在,并求该极限.

admin2019-04-05  88

问题 [2006年]  设数列{xn}满足0<x1<π,xn-1=sinxn(n=1,2,…).证明xn存在,并求该极限.

选项

答案当0<x1<π时,有0<x2=sinx1<x1<π,…. 设0<xn<π,则0<xn+1=sinxn<xn<π.故{xn}单调下降且有下界0,所以[*]存在.下求该极限.令a=[*]xn,由xn+1=sinxn得到a=sina,故a=0,即[*]xn=0.

解析  用命题1.1.4.1证明极限xn存在.为此下面用归纳法证明{xn}单调下降且有下界.
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