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已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0, l2:bx+2cy+3a=0, l3:cx+2ay+3b=0, 试证:这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。
已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0, l2:bx+2cy+3a=0, l3:cx+2ay+3b=0, 试证:这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。
admin
2019-03-23
81
问题
已知平面上三条不同直线的方程分别为
l
1
:ax+2by+3c=0,
l
2
:bx+2cy+3a=0,
l
3
:cx+2ay+3b=0,
试证:这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。
选项
答案
必要性。设三直线交于一点(x
0
,y
0
),则[*]为Ax=0的非零解,其中A=[*],于是|A|=0。而 |A|=[*] = —6(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
—ab—ac—bc) = —3(a+b+c)[(a—b)
2
+(b—c)
2
+(c—a)
2
], 但根据题设可知(a—b)
2
+(b—c)
2
+(c—a)
2
≠0,故a+b+c=0。 充分性。考虑线性方程组 [*] 将该方程组的三个方程相加,并由a+b+c=0可知,其等价于方程组 [*] 因为 [*]=2(ac—b
2
)= —2[a(a+b)+b
2
] = —[a+b
2
+(a+b)
2
]≠0, 所以方程组有唯一解,即三直线l
1
,l
2
,l
3
交于一点。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/zXV4777K
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考研数学二
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