2. 考研
  3. 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0， l2:bx+2cy+3a=0， l3:cx+2ay+3b=0， 试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。

已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0， l2:bx+2cy+3a=0， l3:cx+2ay+3b=0， 试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。

admin2019-03-23  54
问题 已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1:ax+2by+3c=0，
l2:bx+2cy+3a=0，
l3:cx+2ay+3b=0，
试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。
选项
答案必要性。设三直线交于一点(x0，y0)，则[*]为Ax=0的非零解，其中A=[*]，于是｜A｜=0。而 ｜A｜=[*] = —6(a+b+c)(a2+b2+c2—ab—ac—bc) = —3(a+b+c)[(a—b)2+(b—c)2+(c—a)2]， 但根据题设可知(a—b)2+(b—c)2+(c—a)2≠0，故a+b+c=0。 充分性。考虑线性方程组 [*] 将该方程组的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，其等价于方程组 [*] 因为 [*]=2(ac—b2)= —2[a(a+b)+b2] = —[a+b2+(a+b)2]≠0， 所以方程组有唯一解，即三直线l1，l2，l3交于一点。
解析
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考研数学二

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