设A是一个可逆实对称矩阵,记Aij是它的代数余子式.二次型 f(x1,x2,…,xn)=xixj. (1)用矩阵乘积的形式写出此二次型. (2)f(x1,x2,…,xn)的规范形和XTAX的规范形是否相同?为什么?

admin2018-06-27  32

问题 设A是一个可逆实对称矩阵,记Aij是它的代数余子式.二次型
f(x1,x2,…,xn)=xixj.
    (1)用矩阵乘积的形式写出此二次型.
    (2)f(x1,x2,…,xn)的规范形和XTAX的规范形是否相同?为什么?

选项

答案(1)由于A是实对称矩阵,它的代数余子式Aij=Aij,[*],j,并且A-1也是实对称矩阵,其(i,j)位的元素就是Aij/|A|,于是f(x12,…,xn)=XTA-1X. (2)A-1的特征值和A的特征值互为倒数关系,因此A-1和A的正的特征值的个数相等,负的特征值的个数也相等,于是它们的正,负惯性指数都相等,从而A-1和A合同,f(x1,x2,…,xn)和XTAX有相同的规范形.

解析
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