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(I)设A,B是n阶矩阵,A有特征值λ=1,2,…,n. 证明:AB和BA有相同的特征值,且AB~BA; (II)对一般的n阶矩阵A,B,是否必有AB~BA?说明理由.
(I)设A,B是n阶矩阵,A有特征值λ=1,2,…,n. 证明:AB和BA有相同的特征值,且AB~BA; (II)对一般的n阶矩阵A,B,是否必有AB~BA?说明理由.
admin
2014-04-16
32
问题
(I)设A,B是n阶矩阵,A有特征值λ=1,2,…,n.
证明:AB和BA有相同的特征值,且AB~BA;
(II)对一般的n阶矩阵A,B,是否必有AB~BA?说明理由.
选项
答案
(1)因A有n个互不相同的非零特征值,|A|=n!≠0,站A可逆,从而有|λE-AB|=|A(λA
-1
-B)|=|A||λE-BA
-1
|=|λE-BA|.即AB和BA有棚同的特征多项式,故有相同的特征值.又若取可逆阵P=A,则有P
-1
ABP=A
-1
ABA
-1
=BA.故有AB~BA. (Ⅱ)一般AB≠BA,例如,[*]则有[*]显然r(AB)=0,r(BA)=1,故AB≠BA. (1)要证明相似,应找出可逆阵P,使得P
-1
ABP=BA.(2)要说明可能不相似,只要举出一个反例即可.由(I)已知A可逆时,必有AB~BA,故举反例应举A是不可逆矩阵.(3)相似必有相同的λ,但λ相同不一定相似.
解析
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考研数学二
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