设fn(x)=，证明：对任意自然数n，方程fn(x)=内有且仅有一个根．

admin2019-02-23 33

问题设f_n(x)=

，证明：对任意自然数n，方程f_n(x)=

内有且仅有一个根．

选项

答案由f_n(x)=[*]得 f_n(x)=1-(1-cosx)ⁿ，令g(x)=f_n(x)-[*] 由零点定理，存在c∈(0，[*])，使得g(c)=0，即方程f_n(x)=[*]内至少要有一个根．因为g’(x)=-n(1-cosx)^n-1.sinx＜0(0＜x＜[*])，所以g(x)在(0，[*])内有唯一的零点，从而方程f_n(x)=[*]内有唯一根．

解析

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