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  3. 设fn(x)=，证明：对任意自然数n，方程fn(x)=内有且仅有一个根．

设fn(x)=，证明：对任意自然数n，方程fn(x)=内有且仅有一个根．

admin2019-02-23  24
问题 设fn(x)=，证明：对任意自然数n，方程fn(x)=内有且仅有一个根．
选项
答案由fn(x)=[*]得 fn(x)=1-(1-cosx)n， 令g(x)=fn(x)-[*] 由零点定理，存在c∈(0，[*])，使得g(c)=0， 即方程fn(x)=[*]内至少要有一个根． 因为g’(x)=-n(1-cosx)n-1.sinx＜0(0＜x＜[*])， 所以g(x)在(0，[*])内有唯一的零点，从而方程fn(x)=[*]内有唯一根．
解析
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考研数学二

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